标签： 高等数学基础

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上必有最大值和最小值

当 $x$ $\to$ $x_0$ 时，函数值 $f(x_0)$ 在一个上下有界的范围内反复变化无限多次，则点 $x_0$ 就是函数 $f(x)$ 的一个震荡间断点.
Tips: 震荡间断点属于第二类间断点.

$\underset{x\to x_0^{-}}{lim}$ $f(x)$ $=$ $\mathrm{\infty }$ 或 $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}$ $f(x)$ $=$ $\mathrm{\infty }$
Tips: 无穷间断点属于第二类间断点.

$\underset{x\to x_0^{-}}{lim}$ $=$ $A$, $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}$ $=$ $B$, 其中，$A$ 和 $B$ 都是常数，且 $A$ $\ne$ $B$
Tips: 跳跃间断点属于第一类间断点.

$\underset{x\to x_0^{-}}{lim}$ $f(x)$ $=$ $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}$ $f(x)$
Tips: 可去间断点属于第一类间断点.

$>>$ 间断点左右两侧的极限值至少有一个不存在的间断点为第二类间断点.
$>>$ 即极限 $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}$ $f(x)$ 和 $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}$ $f(x)$ 至少有一个不存在，则 $x$ $=$ $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的第二类间断点.
$>>$ 第二类间断点包含【无穷间断点】和【震荡间断点】两种.

$>>$ 间断点左右两侧的极限值都存在的间断点为第一类间断点.
$>>$ 即极限 $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}$ $f(x)$ 和 $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}$ $f(x)$ 都存在，则 $x$ $=$ $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的第一类间断点.
$>>$ 第一类间断点包含【可去间断点】和【跳跃间断点】两种.

$\underset{x\to x_0}{lim}$ $f(x)$ $=$ $f(x_0)$
Tips: 若函数在一点处的极限值等于该函数在该点处的函数值，则表明该函数在此点处连续.

$\underset{x\to x_0(x\to \mathrm{\infty })}{lim}$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ $=$ $\underset{x\to x_0(x\to \mathrm{\infty })}{lim}$ $\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$
Tips: 对于可以应用洛必达法则的式子，应用洛必达法则（即对原式的分子和分母同时求导）之后并不会改变原式的极限值，因此，可以借助洛必达法则，简化对原式极限值的计算.

1. 当 $x$ $\to$ $0$ 或 $x$ $\to$ $\mathrm{\infty }$ 时，$f(x)$ 和 $g(x)$ 【都趋于零】或者【都趋于无穷大】;
2. $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x$ $\to$ $0$ 或 $x$ $\to$ $\mathrm{\infty }$ 时【可导】，且【$g^{‘}(x)$ $\ne$ $0$】;
3. 极限 $\underset{x\to x_0(x\to \mathrm{\infty })}{lim}$ $\frac{f^{‘}(x)}{g^{‘}(x)}$ 【存在】或者为【无穷大】.

$\arcsin x$ $-$ $\arctan x$ $\sim$ $\frac{1}{2}{x}^3$

$x$ $\sim$ $\ln (1+x)$
$x$ $\sim$ $\tan x$
$x$ $\sim$ $\sin x$
$x$ $\sim$ $\arcsin x$
$x$ $\sim$ $\arctan$
$x$ $\sim$ $e^x$ $-$ $1$

$\ln (1+x)$ $\sim$ $x$
$\ln (1+x)$ $\sim$ $\tan x$
$\ln (1+x)$ $\sim$ $\sin x$
$\ln (1+x)$ $\sim$ $\arcsin x$
$\ln (1+x)$ $\sim$ $\arctan$
$\ln (1+x)$ $\sim$ $e^x$ $-$ $1$

$e^x$ $-$ $1$ $\sim$ $x$
$e^x$ $-$ $1$ $\sim$ $\tan x$
$e^x$ $-$ $1$ $\sim$ $\sin x$
$e^x$ $-$ $1$ $\sim$ $\arcsin x$
$e^x$ $-$ $1$ $\sim$ $\arctan$
$e^x$ $-$ $1$ $\sim$ $\ln (1+x)$

$\arctan x$ $\sim$ $x$
$\arctan x$ $\sim$ $\tan x$
$\arctan x$ $\sim$ $\sin x$
$\arctan x$ $\sim$ $\arcsin x$
$\arctan x$ $\sim$ $e^x$ $-$ $1$
$\arctan x$ $\sim$ $\ln (1+x)$