彻底搞明白一元和二元函数中可微、可(偏)导、连续与极限存在之间的关系

一、前言 前言 - 荒原之梦

看完本文,你将彻底理解下面这两个图:

彻底搞明白一元和二元函数中可微、可(偏)导、连续与极限存在之间的关系 | 荒原之梦
图 01.
彻底搞明白一元和二元函数中可微、可(偏)导、连续与极限存在之间的关系 | 荒原之梦
图 02.

二、正文 正文 - 荒原之梦

一、函数在一点处连续的定义

定义内容:沿着任意方向趋近于一个点的极限存在且相等
定义说明:由于一元函数是平面曲线,只有“左”和“右”两个方向,因此,对一元函数而言,只要左极限等于右极限就是极限存在;但是,由于二元函数是一个空间曲面,有无数个方向,因此,二元函数一点处连续的几何意义就是无论从哪个方向趋近于这一点,极限都是存在且相等的;

准确的说,一个函数 $f(x)$ 若要在点 $x_{0}$ 处连续,则必须同时满足以下三个条件:

  1. 函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处有定义;
  2. 函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处的极限存在;
  3. 函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处的极限等于该点处的函数值 $f(x_{0})$.

需要注意的是,“连续”只能说明函数对应的平面图象(一元函数)或空间图像(二元函数)是“致密”的,但并不一定是“光滑”的(光滑就意味着可导)。

二、微分的几何意义

无论是几元函数,微分的本质来源都是“以曲代直”,因此,对一元函数(平面曲线)而言,微分就是尝试用很多非常“短”的直线代替曲线——当这些直线短到一定程度时,就变成了(可以看作)曲线的一个切线。同样的,对二元函数(空间曲面)而言,微分就是尝试用很多非常小的平面代替曲面,当这些平面小到一定程度时,就变成了(可以看作)曲面的一个切平面。

此外,为了和偏导数相区别,多元函数的微分也叫做全微分或全导数——简单的说,可微(可微分)就是全微分存在。

三、导数与偏导数

一元函数和二元函数都有微分的概念,但是,“导数”只是一元函数独有的概念,二元或者更高元的函数是没有“导数”这一概念的——二元及以上的函数只有“偏导数”的概念。这是因为,导数反应的是切线的变化率,而一元函数由于是位于平面中的,其切线的变化率只能相对于 $X$ 轴正方向发生,因此,一元函数在一点处只有“左导数”和“右导数”这两种导数。

但是,二元函数是位于空间中的,其在一点处可能向整个空间中的无数个方向有无数条切线。因此,对于二元函数 $f$,我们通常只研究其平行于 $X$ 轴方向上的偏导数 $f^{\prime}_{x}$ 和平行于 $Y$ 轴方向上的偏导数 $f^{\prime}_{y}$

四、为什么连续不一定可微

对一元函数来说,“连续”就意味着曲线上没有间断点,对二元函数来说,“连续”就意味着曲面上没有“洞”。同时,我们也知道,要想在平面中唯一的确定一条直线,至少需要两个点(即“两点确定一条直线”)。进而,我们也知道,要想在空间中确定一个平面,至少需要两条直线(“即两线确定一个面”)。

但是,对于一元函数而言,如果我们只有一个“尖锐的点”,是没办法找到关于这个点的一个切线的,因为一个点无法确定一条线,这也就是为什么 $y=|x|$ 在 $x = 0$ 这各点处不可微,同时也不可导(在一元函数中,可微必可导,可导必可微,可微与可导等价)。

同样的,在二元函数中,如果我们只有一条“锋利的线”,也是没办法找到关于这条线上的某点的切平面的,因为一条线无法确定一个面,这也就是为什么所有位于 $z = |x| + |y|$ 的函数图像四条“锋利的棱”上的点都是不可微的(如下图)。

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图 03. 该函数图像由 Gnuplot 生成。相关代码见下方的 [附录 01].
附录 01(点击可以展开)

生成 图 03 的 Gunplot 软件版本为:Version 5.4 patchlevel 8.


代码如下(将下面的代码保存为以 .gp.plt 为扩展名的文件,即可在 Gnuplot 中运行):

set term wxt size 800,600  # 设置绘图窗口尺寸
set xlabel "{/:Bold=15 x}" textcolor rgb "orange"  # 设置x轴标签
set ylabel "{/:Bold=15 y}" textcolor rgb "orange"  # 设置y轴标签
set zlabel "{/:Bold=15 z}" textcolor rgb "orange"  # 设置z轴标签
set view 60, 30           # 设置视角
set hidden3d              # 启用3D隐藏线算法
set style line 1 lc rgb "green" lw 2  # 设置函数图象线条样式
set border lc rgb "orange" lw 2  # 设置边框样式
set tics textcolor rgb "orange"  # 设置刻度线标签颜色
set key off  # 关闭图例
set style fill transparent solid 0.5  # 设置背景透明度

# 定义函数
f(x, y) = abs(x) + abs(y)

# 绘制图形
splot [-5:5] [-5:5] f(x, y) with lines ls 1

需要注意的是,上面的代码在 Windows 11 下运行后,导出的 SVG 格式文件并不是透明的,还需要将该 SVG 格式文件中的 fill="rgb(100%, 100%, 100%)" 修改为 fill="none" 才能使背景变为透明。

由于二元函数是没有“导数”这一概念的,二元函数只有比“导数”这一概念更弱一些的“偏导”概念——偏导“包含在”导数内。

但是,假设我们认为二元函数也有导数这一概念,那么,二元函数的可微就意味着可导,也就是意味着可偏导,但由于“偏导”更弱一些,因此,可偏导不一定可导,也就不一定可微——换句话说,二元函数的可微意味着一定存在切平面,而存在切平面就一定存在各个方向上的切线,因此,也一定存在平行于 $X$ 轴和 $Y$ 轴的切线,即可偏导。

总的来说,在一元函数中,只有光滑的弧形和直线才可微,在二元函数中,只有光滑的曲面和平面才可微——凡是尖锐的点和锋利的棱都是不可微的。

五、为什么偏导数存在且连续就可微,但反过来却不成立?

Tips:

通过下面的分析大家将发现,对于二元函数而言,证明偏导数不连续,进而得出不可微的结论是很容易的,但如果要直接证明偏导数连续,进而得出可微的结论是不可能的,但好在我们有公式可以用于证明可微:《证明二元函数在点 $(x_{0}, y_{0})$ 处是否可微

首先,我们来想一个问题:为什么在一元函数中可导和可微是等价的?

仔细想一想可以发现,在一元函数中,一个点只有左右两个导数,只要这两个导数相等,我们就说函数在该点处可导——此时的可导就证明了曲线在该点处是光滑的,因此也就是可微的。

但是,在二元函数中,一个点处并不是只有两个导数(准确的说是“偏导数”),而是存在无数个(偏)导数——也就是说,如果这无数个(偏)导数都存在,我们就可以说函数在该点处是可微的。

Tips:

在实际做题时,我们当然没办法直接证明无数个偏导数都存在,但是,我们可以使用放缩的方式证明偏导数在一点处的连续性,相关内容可以参阅这篇文章:《二元函数偏导数的连续性可以被直接证明吗?当然可以!

但是,一般情况下,我们所说的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 指的都是分别平行于 $X$ 轴和 $Y$ 轴的偏导数,即是说,点 $(x_{0}, y_{0})$ 处的偏导数就可以表示为:

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow x_{0} \\ y \rightarrow y_{0}}} \frac{\partial z}{\partial x} \quad \quad \lim \limits_{\substack{x \rightarrow x_{0} \\ y \rightarrow y_{0}}} \frac{\partial z}{\partial y}
$$

但是,以上述这两个偏导数为“基准”,我们还可以把点 $(x_{0}, y_{0})$ 位于曲面 $z(x, y)$ 其他方向上的偏导数也写出来(这样的偏导数有无数个),例如,沿 $y=x$ 方向上的偏导数在 $(x_{0}, y_{0})$ 点的极限表达式为:

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow x_{0}^{+} \\ y=x}} \frac{\partial z}{\partial x} \quad \lim \limits_{\substack{x \rightarrow x_{0}^{-} \\ y=x}} \frac{\partial z}{\partial x} \quad \lim \limits_{\substack{x \rightarrow x_{0}^{+} \\ y=x}} \frac{\partial z}{\partial y} \quad \lim \limits_{\substack{x \rightarrow x_{0}^{-} \\ y=x}} \frac{\partial z}{\partial y}
$$

因此,假如这无数个偏导数都存在,也就等价于偏导数连续(来自各个方向上的极限都相等),那么就能说明可微,但仅仅说 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 这有限个偏导数存在,并不能推出可微。

换个思考角度就是,一点处的偏导数存在且连续,就意味着该点任意方向都是光滑的(可导等价于“光滑”),但由可微为什么推不出偏导数连续呢?因为,一旦一点处可微了,则该点处的切平面也就唯一确定了,那么,除了这个切平面之外的其他地方是可以有“锋利的折痕”的,也就其他地方的偏导数可以不连续,因此,由一点处可微就不能推导出该点处的偏导数处处连续。

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图 01.
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图 02.

荒原之梦考研数学思维导图
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