定义 1：数列的极限
$\lim_{n \to \infty} x_{n} = A$ 等价于：
对于 $\forall \varepsilon > 0$, $\exists$ 正整数 $N$, 使得当 $n > N$ 时，有 $\left| x_{n} – A \right| < \varepsilon$.
其中，$A$ 是一个有限数.
若一个数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 存在极限，就称该数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 收敛，否则，就称该数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 发散.
定义 2：函数的极限
$\lim_{x \to \infty} f \left( x \right) = A$ 等价于：
对于 $\forall \varepsilon > 0$, $\exists$ 正数 $X$, 使得当 $\left| x \right| > X$ 时有 $\left| f \left( x \right) – A \right| < \varepsilon$.
类似地，可定义函数的单侧极限 $\lim_{x \to + \infty} f \left( x \right) = A$ 和 $\lim_{x \to – \infty} f \left( x \right) = A$.
注意：
在函数极限情形下 $x \to \infty$ 与数列极限中 $n \to \infty$ 的意义不同：在函数中，$x \to \infty$ 指的是 $x \to \pm \infty$, 而在数列中，$x \to \infty$ 指的是 $n \to + \infty$.
需要注意的是，在函数中，虽然 $x \to \infty$ 指的是 $x \to \pm \infty$, 但是，如果题目只说了 $x \to \infty$, 我们就只需要考虑 $x \to + \infty$ 这一种情况即可，这算是一个做题时的惯例（例如这道题）.
不过，在函数中，如果说了 $x \to a$, 其中 $a$ 是一个常数或者表示某个常数的符号，则就需要分别考虑 $x \to a^{-}$ 和 $x \to a^{+}$ 这两种极限，因为这涉及到一点处的极限是否存在的问题.
定义 3：函数的极限
$\lim_{x \to x_{0}} f \left( x \right) = A$ 等价于：
对于 $\forall \varepsilon > 0$, $\exists$ 正数 $\delta$, 使得当 $0 < \left| x – x_{0} \right| < \delta$ 时有 $\left| f \left( x \right) – A \right| < \varepsilon$.
类似地，可以定义 $f \left( x \right)$ 当 $x \to x_{0}$ 时的左极限 $f \left( x_{0}^{-} \right)$ 和右极限 $f \left( x_{0}^{+} \right)$:
$$
\begin{aligned}
f \left( x_{0}^{-} \right) & = \lim_{x \to x_{0}^{-}} f \left( x \right) = A \\ \\
f \left( x_{0}^{+} \right) & = \lim_{x \to x_{0}^{+}} f \left( x \right) = A
\end{aligned}
$$
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