标签： 高等数学基础

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过绘图的方式，从几何包含关系的视角，帮助同学们建立对数学中“充分条件”、“必要条件”和“充要条件”之间关系的形象理解.

继续阅读“峰图 | 从包含关系的视角理解充分条件与必要条件”

	$-1$	$\frac{- \sqrt{3}}{2}$	$\frac{- \sqrt{2}}{2}$	$\frac{-1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\arcsin$	$\frac{- \pi}{2}$	$\frac{- \pi}{3}$	$\frac{- \pi}{4}$	$\frac{- \pi}{6}$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\arccos$	$\pi$	$\frac{5\pi}{6}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{6}$	$0$

	$-\sqrt{3}$	$-1$	$\frac{-1}{\sqrt{3}}$	$0$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$
$\arctan$	$\frac{- \pi}{3}$	$\frac{- \pi}{4}$	$\frac{- \pi}{6}$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$
$\operatorname{arccot}$	$\frac{5\pi}{6}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{6}$

上面四个反三角函数的取值范围为：

$$
\begin{aligned}
\arcsin x & \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \\
\arccos x & \in \left[ 0, \pi \right] \\
\arctan x & \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \\
\operatorname{arccot} x & \in \left( 0, \pi \right)
\end{aligned}
$$

一、前言

下面这些量相等吗：

$$
0, \ -0, \ +0, \ 0^{-}, \ 0^{+}
$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将对这一问题给出讲解.

继续阅读“对于 0 而言，正负都一样，左右不一样”

	$0^{\circ}$	$30^{\circ}$	$45^{\circ}$	$60^{\circ}$	$90^{\circ}$	$120^{\circ}$	$135^{\circ}$	$150^{\circ}$	$180^{\circ}$
	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{2 \pi}{3}$	$\frac{3 \pi}{4}$	$\frac{5 \pi}{6}$	$\pi$
$\sin \alpha$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\cos \alpha$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{-1}{2}$	$\frac{-\sqrt{2}}{2}$	$\frac{-\sqrt{3}}{2}$	$-1$
$\tan \alpha$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	未定义	$-\sqrt{3}$	$-1$	$\frac{-\sqrt{3}}{3}$	$0$
$\cot \alpha$	未定义	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$\frac{-\sqrt{3}}{3}$	$-1$	$-\sqrt{3}$	未定义

一、前言

由《反常积分敛散性的三个常用公式及推导证明》可知，判断反常积分敛散性三个常用公式中的第二个公式为：

$$
a > 0 \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d} x \begin{cases}
\text{收敛}, & p > 1 \\
\text{发散}, & p \leqslant 1
\end{cases}
$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于上面的公式，推导出另一个判断反常积分敛散性的常用公式.

继续阅读“反常积分敛散性三个常用公式中第二个公式的推论公式”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过推导计算证明，当 $a > 0$ 的时候，任意正次幂 $x^{a}$ 趋于 $0$ 的速度快于 $\ln ⁡x$ 趋于 $- \infty$ 的速度，从而证明：

$$
\lim_{x \to 0^{+}} x^{a} \ln x = 0
$$

继续阅读“峰图 | 任意正次幂 $x^{a}$ 趋于 $0$ 的速度快于 $\ln ⁡x$ 趋于 $- \infty$ 的速度”

一、前言

普通的定积分通常不需要专门讨论其敛散性，因为只要被积函数是连续的，这个定积分就一定收敛.

但是，还存在一类不一定收敛的积分（当然也不一定发散），就是“反常积分”，这个时候就需要讨论敛散性了——

反常积分的敛散性问题，本质上是一个极限问题，如果反常积分的极限存在，就说这个反常积分收敛，如果极限不存在，就说这个反常积分发散.

在本文中，「荒原之梦考研数学」会将这些与积分敛散性有关的一些概念做一个详细的梳理和讲解.

二、正文

什么是“奇性”？

所谓“奇性”就是：函数在某个点附近没有“普通”的函数值，即：

• 函数值不存在（函数在该点处没有定义）；
• 函数值趋于正无穷大 $+ \infty$;
• 函数值趋于负无穷大 $- \infty$.

存在奇性的点也被称为“奇点”或者“瑕点”.

什么是“瑕积分”？

所谓“瑕积分”就是：积分区间（积分的上下限）一般是有限的，但被积函数在区间内某点或端点处存在奇性.

例如，对于积分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d}x$, 在 $x=0$ 处，有：

$$
\frac{1}{\sqrt{x}} \to \infty
$$

所以这不是普通定积分，而是瑕积分：

$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d}x = \lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \int_{\varepsilon}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d}x
$$

如果 $\lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \int_{\varepsilon}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d}x$ 这个极限存在，我们就说这个瑕积分收敛；否则就说这个瑕积分发散.

需要注意的是，函数在某点趋于无穷，不代表积分一定发散.

关于这一问题，我们可以简单地理解为：趋于无穷的速度快（函数图象与坐标轴围起来的面积不会无限增长），就可能不发散，趋于五穷的速度慢（函数图象与坐标轴围起来的面积无限增长），就可能发散.

例如，对于下面的积分，虽然被积函数 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 在 $0$ 处趋于无穷大，但是，该积分是收敛的：

$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d}x
$$

而对于下面的积分，被积函数 $\frac{1}{x}$ 在 $0$ 处也趋于无穷大，但是，该积分是发散的：

$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{x} \mathrm{~d}x
$$

什么是“反常积分”？

反常积分一般包括两类：

1. 积分区间无限的反常积分，例如：

$$
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} \mathrm{~d}x
$$

2. 积分区间有限，但被积函数有奇性的反常积分（也被称为瑕积分），例如：

$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d}x
$$

奇性和积分的敛散性有什么关系？

对于一个反常积分，只要有一个地方发散，整体就发散，而存在奇性的点很可能存在发散现象，所以，在判断反常积分敛散性的时候，我们要格外注意存在奇性的点.

例如，若 $x=0$ 和 $x=1$ 是函数 $f(x)$ 存在奇性的点（奇点），那么，对于 $\int_{0}^{1} f\left(x\right) \mathrm{~d}x$ 这个积分，就必须将积分区间分开看：

$$
\int_{0}^{\frac{1}{2}} f\left(x\right) \mathrm{~d}x + \int_{\frac{1}{2}}^{1} f\left(x\right) \mathrm{~d}x
$$

只有 $\int_{0}^{\frac{1}{2}} f\left(x\right) \mathrm{~d}x$ 和 $\int_{\frac{1}{2}}^{1} f\left(x\right) \mathrm{~d}x$ 这两个积分都收敛，原来的整个积分才收敛；如果其中一个发散，那么原来的整个积分就发散.

当然，对于 $\int_{0}^{1} f\left(x\right) \mathrm{~d}x$ 这个积分，我们也可以拆成下面这样的形式：

$$
\int_{0}^{\xi} f\left(x\right) \mathrm{~d}x + \int_{\xi}^{1} f\left(x\right) \mathrm{~d}x
$$

其中，$\xi \in \left( 0, 1 \right)$.

---

定义 1：数列的极限

$\lim_{n \to \infty} x_{n} = A$ 等价于：

对于 $\forall \varepsilon > 0$, $\exists$ 正整数 $N$, 使得当 $n > N$ 时，有 $\left| x_{n} – A \right| < \varepsilon$.

其中，$A$ 是一个有限数.

若一个数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 存在极限，就称该数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 收敛，否则，就称该数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 发散.

定义 2：函数的极限

$\lim_{x \to \infty} f \left( x \right) = A$ 等价于：

对于 $\forall \varepsilon > 0$, $\exists$ 正数 $X$, 使得当 $\left| x \right| > X$ 时有 $\left| f \left( x \right) – A \right| < \varepsilon$.

类似地，可定义函数的单侧极限 $\lim_{x \to + \infty} f \left( x \right) = A$ 和 $\lim_{x \to – \infty} f \left( x \right) = A$.

注意：

在函数极限情形下 $x \to \infty$ 与数列极限中 $n \to \infty$ 的意义不同：在函数中，$x \to \infty$ 指的是 $x \to \pm \infty$, 而在数列中，$x \to \infty$ 指的是 $n \to + \infty$.

需要注意的是，在函数中，虽然 $x \to \infty$ 指的是 $x \to \pm \infty$, 但是，如果题目只说了 $x \to \infty$, 我们就只需要考虑 $x \to + \infty$ 这一种情况即可，这算是一个做题时的惯例（例如这道题）.

不过，在函数中，如果说了 $x \to a$, 其中 $a$ 是一个常数或者表示某个常数的符号，则就需要分别考虑 $x \to a^{-}$ 和 $x \to a^{+}$ 这两种极限，因为这涉及到一点处的极限是否存在的问题.

定义 3：函数的极限

$\lim_{x \to x_{0}} f \left( x \right) = A$ 等价于：

对于 $\forall \varepsilon > 0$, $\exists$ 正数 $\delta$, 使得当 $0 < \left| x – x_{0} \right| < \delta$ 时有 $\left| f \left( x \right) – A \right| < \varepsilon$.

类似地，可以定义 $f \left( x \right)$ 当 $x \to x_{0}$ 时的左极限 $f \left( x_{0}^{-} \right)$ 和右极限 $f \left( x_{0}^{+} \right)$:

$$
\begin{aligned}
f \left( x_{0}^{-} \right) & = \lim_{x \to x_{0}^{-}} f \left( x \right) = A \\ \\
f \left( x_{0}^{+} \right) & = \lim_{x \to x_{0}^{+}} f \left( x \right) = A
\end{aligned}
$$

---

数列极限的基本性质

定理 1：极限的不等式性质

设 $\lim_{n \to \infty} x_{n} = a$, $\lim_{n \to \infty} y_{n} = b$.

推论：

（1）若 $a > b$, 则 $\exists N$, 当 $n > N$ 时有 $x_{n} > y_{n}$；

（2）若 $n > N$ 时 $x_{n} \geqslant y_{n}$, 则 $a \geqslant b$.

定理 2：收敛数列的有界性

若数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 收敛，则数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 有界.

所谓“有界”就是指：$\exists$ 常数 $M > 0$, $\left| x_{n} \right| \leqslant M$, $n = 1, 2, 3, \cdots$.

函数极限的基本性质

定理 3：极限的不等式性质

设 $\lim_{x \to x_{0}} f \left( x \right) = A$, $\lim_{x \to x_{0}} g \left( x \right) = B$, 则：

（1）若 $A > B$, 则 $\exists \delta > 0$ 使得当 $0 < \left| x – x_{0} \right| < \delta$ 时有 $f \left( x \right) > g \left( x \right)$；

（2）若 $\exists \delta > 0$, 使得当 $0 < \left| x – x_{0} \right| < \delta$ 时有 $f \left( x \right) \geqslant g \left( x \right)$，则 $A \geqslant B$；

（3）若 $\exists \delta > 0$, 使得当 $0 < \left| x – x_{0} \right| < \delta$ 时有 $f \left( x \right) > g \left( x \right)$，则 $A \geqslant B$.

Tip

本文中的 $0 < \left| x – x_{0} \right| < \delta$ 表示的就是点 $x = x_{0}$ 处的一个不去心的邻域，而 $U_{0} \left( x_{0}, \delta \right) = \left\{ x \mid 0 < \left| x – x_{0} \right| < \delta \right\}$ 表示的则是点 $x = x_{0}$ 处的一个去心的邻域.

zhaokaifeng.com

推论（极限的保号性）：

设 $\lim_{x \to x_{0}} f \left( x \right) = A$, 则：

（1）若 $A > 0$, 则 $\exists \delta > 0$ 使得当 $0 < \left| x – x_{0} \right| < \delta$ 时有 $f \left( x \right) > 0$；

（2）若 $\exists \delta > 0$，使得当 $0 < \left| x – x_{0} \right| < \delta$ 时有 $f \left( x \right) \geqslant 0$，则 $A \geqslant 0$.

定理 4：存在极限的函数局部有界性

设存在极限 $\lim_{x \to x_{0}} f \left( x \right) = A$，则 $f \left( x \right)$ 在 $x_{0}$ 的某空心邻域 $U_{0} \left( x_{0}, \delta \right) = \left\{ x \mid 0 < \left| x – x_{0} \right| < \delta \right\}$ 内有界，即 $\exists \delta > 0$ 与 $M > 0$，使得当 $0 < \left| x – x_{0} \right| < \delta$ 时有 $\left| f \left( x \right) \right| \leqslant M$.

推论：

其他类似的极限过程，如 $x \to x_{0^{+}}$, $x \to x_{0^{- }}$, $x \to +\infty$ 和 $x \to -\infty$ 等也有与上面的“定理 4”类似的结论.

---

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将以下面的平面曲线函数为例，计算其绕不同的常见旋转轴旋转所得的曲面对应的函数表达式：

$$
y = \frac{1}{1 + x^{2}}
$$

函数 $y = \frac{1}{1 + x^{2}}$ 在二维直角坐标系中的函数图像如图 00 所示：

继续阅读“如何由平面曲线函数得到其绕指定轴线旋转所得曲面的函数？”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过推导的方式，对形如 $\int_{a}^{b} \frac{1}{(x-a)^{p}} \mathrm{~d}x$, $\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d}x$ 和 $\int_{a}^{+ \infty} \frac{1}{x \ln ^{p} x} \mathrm{~d} x$ 这样的反常积分的敛散性进行证明.

继续阅读“反常积分敛散性的三个常用公式及推导证明”

一、前言

对于一个二元隐函数（或者说二元方程式） $F(x, y) = 0$, $y = y(x)$ 而言，对 $x$ 求导（全导数）的公式的一般推导过程如下：

$$
\begin{aligned}
& F \left( x, y \right) = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{\mathrm{d} F \left( x, y \right)}{\mathrm{d} x} = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \textcolor{orange}{ F^{\prime}_{x} \left( x, y \right) + F^{\prime}_{y} \left( x, y \right) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0 } \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{- F^{\prime}_{x} \left( x, y \right)}{F^{\prime}_{y} \left( x, y \right)}
\end{aligned}
$$

其中，$F^{\prime}_{y} \left( x, y \right) \neq 0$.

当然，我们也可以简写成下面的形式：

$$
\begin{aligned}
& F \left( x, y \right) = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{d} x} = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \textcolor{orange}{ F^{\prime}_{x} + F^{\prime}_{y} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0 } \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{- F^{\prime}_{x} }{F^{\prime}_{y} }
\end{aligned}
$$

其中，$F^{\prime}_{y} \neq 0$.

此外，还可以写成下面的形式：

$$
\begin{aligned}
& F \left( x, y \right) = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{d} x} = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \textcolor{orange}{ \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0 } \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{- \partial F / \partial x }{ \partial F / \partial x }
\end{aligned}
$$

其中，$\frac{\partial F}{\partial x} \neq 0$.

可以看到，要理解上面的公式，最主要的就是要理解 $\frac{\partial F}{\partial x}$ $+$ $\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ $=$ $0$ 这个式子是怎么来的.

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过一些实例，以递进式的方式，为同学们讲清楚上面这个式子的由来.

继续阅读“由方程式确定的隐函数求导公式的“实例递进式”推导”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将分别对全导数和偏导数之间的联系与区别，以及全导数和全微分之间的联系与区别做一个详细的阐释.

继续阅读“全导数、偏导数和全微分的区别与联系”

一、前言

韦达定理描述了多项式方程的根与方程系数之间的关系. 由于该定理由法国数学家弗朗索瓦·韦达首次发现，因此得名.

继续阅读“一元 n 次方程的韦达定理（包括证明过程和示例）”