考研数学二 – 荒原之梦

峰图 | 从包含关系的视角理解充分条件与必要条件

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过绘图的方式，从几何包含关系的视角，帮助同学们建立对数学中“充分条件”、“必要条件”和“充要条件”之间关系的形象理解.

2022考研数二第20题解析：多元复合函数的偏导数、一阶偏微分方程

一、题目

已知可微函数 $f\left(u, v\right)$ 满足 $\frac{\partial f\left(u, v\right)}{\partial u} – \frac{\partial f\left(u, v\right)}{\partial v} = 2 \left(u – v\right) \mathrm{e}^{-\left(u + v\right)}$, 且 $f\left(u, 0\right) = u^{2} \mathrm{e}^{-u}$.

（1）记 $g\left(x, y\right) = f\left(x, y – x\right)$, 求 $\frac{\partial g\left(x, y\right)}{\partial x}$;

（2）求 $f\left(u, v\right)$ 的表达式和极值.

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2022考研数二第19题解析：二重积分的计算

一、题目

已知平面区域 $D = \left\{\left(x, y\right) \mid y – 2 \leqslant x \leqslant \sqrt{4 – y^{2}}, \ 0 \leqslant y \leqslant 2\right\}$, 计算 $I = \iint_{D} \frac{\left(x – y\right)^{2}}{x^{2} + y^{2}} \mathrm{~d}x \mathrm{d}y$.

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2022考研数二第18题解析：一阶线性微分方程、曲线的弧长

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一、题目

设函数 $y \left( x \right)$ 是微分方程 $2 x y^{\prime} – 4 y = 2 \ln x – 1$, 满足条件 $y\left( 1 \right) = \frac{1}{4}$ 的解，求曲线 $y = y\left(x\right) \left( 1 \leqslant x \leqslant e \right)$ 的弧长.

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2022考研数二第17题解析：一点处导数的定义

一、题目

已知函数 $f\left(x\right)$ 在 $x = 1$ 处可导，且 $\lim\limits_{x \to 0} \frac{f\left(\mathrm{e}^{x^{2}}\right) – 3 f\left(1 + \sin^{2} x\right)}{x^{2}} = 2$，求 $f^{\prime}\left(1\right)$.

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2022考研数二第16题解析：矩阵的迹、矩阵的初等变换、矩阵的乘法运算

一、题目

设 $\boldsymbol{A}$ 为 $3$ 阶矩阵，交换 $\boldsymbol{A}$ 的第 $2$ 行和第 $3$ 行，再将第 $2$ 列的 $-1$ 倍加到第一列，得到矩阵 $\begin{bmatrix} -2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$, 则 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的迹 $\operatorname{tr} \left(\boldsymbol{A}^{-1}\right) = \underline{\qquad\qquad}$.

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2022考研数二第15题解析：极坐标系定积分的计算

一、题目

已知曲线 $L$ 的极坐标方程为 $r = \sin 3 \theta \left( 0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{3} \right)$, 则 $L$ 围成有界区域的面积为 $\underline{\qquad\qquad}$.

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2022考研数二第14题解析：三阶常系数线性齐次微分方程的求解

一、题目

$y^{\prime\prime\prime} – 2 y^{\prime\prime} + 5 y^{\prime} = 0$, 通解 $y\left(x\right) = \underline{\qquad\qquad}$.

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常用反三角函数的取值对照表

	$-1$	$\frac{- \sqrt{3}}{2}$	$\frac{- \sqrt{2}}{2}$	$\frac{-1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\arcsin$	$\frac{- \pi}{2}$	$\frac{- \pi}{3}$	$\frac{- \pi}{4}$	$\frac{- \pi}{6}$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\arccos$	$\pi$	$\frac{5\pi}{6}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{6}$	$0$

	$-\sqrt{3}$	$-1$	$\frac{-1}{\sqrt{3}}$	$0$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$
$\arctan$	$\frac{- \pi}{3}$	$\frac{- \pi}{4}$	$\frac{- \pi}{6}$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$
$\operatorname{arccot}$	$\frac{5\pi}{6}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{6}$

上面四个反三角函数的取值范围为：

$$
\begin{aligned}
\arcsin x & \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \\
\arccos x & \in \left[ 0, \pi \right] \\
\arctan x & \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \\
\operatorname{arccot} x & \in \left( 0, \pi \right)
\end{aligned}
$$

2022考研数二第13题解析：定积分的计算

一、题目

$\int_{0}^{1} \frac{2 x + 3}{x^{2} – x + 1} \mathrm{~d} x = \underline{\qquad \qquad}$.

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2022考研数二第12题解析：隐函数求导

一、题目

已知函数 $y = y \left(x\right)$ 由方程 $x^{2} + x y + y^{3} = 3$ 确定，则 $y^{\prime\prime}\left(1\right) = \underline{\qquad\qquad}$.

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2022考研数二第11题解析：极限的计算、三角函数、常用的等价无穷小

一、题目

$\lim\limits_{x \to 0} \left(\frac{1 + \mathrm{e}^{x}}{2}\right)^{\cot x} = \underline{\qquad\qquad}$.

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2022考研数二第10题解析：向量组等价、初等变换、矩阵的秩

一、题目

设 $\boldsymbol{\alpha}_{1} = \left( \lambda, 1, 1 \right)^{\top}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2} = \left( 1, \lambda, 1 \right)^{\top}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3} = \left( 1, 1, \lambda \right)^{\top}$, $\boldsymbol{\alpha}_{4} = \left( 1, \lambda, \lambda^{2} \right)^{\top}$, 若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 与 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 等价，则 $\lambda$ 的取值范围是 $\left( \quad \right)$

»A« $\left\{0, 1\right\}$