分类： 线性代数

一、题目

设矩阵 $\boldsymbol{A} = \left( \boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \boldsymbol{a}_{3}, \boldsymbol{a}_{4} \right)$，若 $\boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \boldsymbol{a}_{3}$ 线性无关，且 $\boldsymbol{a}_{1} + \boldsymbol{a}_{2} = \boldsymbol{a}_{3} + \boldsymbol{a}_{4}$，则方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{a}_{1} + 4 \boldsymbol{a}_{4}$ 的通解为 $\boldsymbol{x} = \underline{\qquad}$.

难度评级：

二、答案

$\boldsymbol{x} = C \begin{pmatrix}
1 \\ 1 \\ -1 \\ -1
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 0 \\ 4
\end{pmatrix}$，其中 $C$ 为任意常数.

三、解析

分析可知，方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{a}_{1} + 4 \boldsymbol{a}_{4}$ 是一个非齐次线性方程组，非齐次线性方程组的通解由其特解和对应的齐次线性方程组的通解相加得到.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 于是，先求解对应的齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = 0$ 的通解（求解出组成通解的基础解系即可）：

由 $\boldsymbol{a}_{1} + \boldsymbol{a}_{2} = \boldsymbol{a}_{3} + \boldsymbol{a}_{4}$，得：

$$
\boldsymbol{a}_{4} = – \boldsymbol{a}_{1} – \boldsymbol{a}_{2} + \boldsymbol{a}_{3}
$$

于是可知，$\boldsymbol{a}_{4}$ 可由 $\boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \boldsymbol{a}_{3}$ 线性表示.

又因为 $\boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \boldsymbol{a}_{3}$ 线性无关，所以 $\boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \boldsymbol{a}_{3}, \boldsymbol{a}_{4}$ 线性相关，即：

$$
r \left( \boldsymbol{A} \right) = r \left( \boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \boldsymbol{a}_{3}, \boldsymbol{a}_{4} \right) = r \left( \boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \boldsymbol{a}_{3} \right) = 3
$$

因此，齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = 0$ 的基础解系中含有一个解向量.

由 $\boldsymbol{a}_{1} + \boldsymbol{a}_{2} = \boldsymbol{a}_{3} + \boldsymbol{a}_{4}$ 得：

$$
\boldsymbol{a}_{1} + \boldsymbol{a}_{2} – \boldsymbol{a}_{3} – \boldsymbol{a}_{4} = \left( \boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \boldsymbol{a}_{3}, \boldsymbol{a}_{4} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{array} \right) = 0
$$

从而 $\textcolor{lightgreen}{ \boldsymbol{\xi} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{array} \right) }$ 为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = 0$ 的基础解系.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 接着，求解非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{a}_{1} + 4 \boldsymbol{a}_{4}$ 的特解：

由于 $\boldsymbol{a}_{1} + 4 \boldsymbol{a}_{4} = \left( \boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \boldsymbol{a}_{3}, \boldsymbol{a}_{4} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 4 \end{array} \right) = \boldsymbol{A} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 4 \end{array} \right) = \boldsymbol{A} \boldsymbol{\eta}$，故 $\textcolor{lightgreen}{ \boldsymbol{\eta} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 4 \end{array} \right) }$ 为方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{a}_{1} + 4 \boldsymbol{a}_{4}$ 的特解.

综上可知，方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{a}_{1} + 4 \boldsymbol{a}_{4}$ 通解为 $\boldsymbol{x} = C \boldsymbol{\xi} + \boldsymbol{\eta}$, 其中 $C$ 为任意常数.

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一、题目

设 $3$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 满足 $\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\right) = \mathbf{r} \left(\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\right)+1$, 则（ ）

»A«. 方程组 $\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}\right)\boldsymbol{x}=0$ 只有零解

»B«. 方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=0$ 与方程组$\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=0$ 均只有零解

»C«. 方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=0$ 与方程组 $\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=0$ 没有公共非零解

»D«. 方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=0$ 与方程组 $\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=0$ 有公共非零解

一、题目

下列矩阵中，可以经过若干初等行变换得到矩阵 $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$ 的是（ ）

A. $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1\\
1 & 2 & 1 & 3\\
2 & 3 & 1 & 4
\end{pmatrix}$

B. $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 2 & 5\\
1 & 1 & 1 & 3
\end{pmatrix}$

C. $\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & 3\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}$

D. $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 3\\
1 & 2 & 2 & 3\\
2 & 3 & 4 & 6
\end{pmatrix}$

一、题目

设矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 2 & a & 0 \\ 0 & 0 & b\end{array}\right)$ 有一个正特征值和两个负特征值，则（ ）

»A«. $a>4, b>0$

»B«. $a<4, b>0$

»C«. $a>4, b<0$

»D«. $a<4, b<0$

难度评级：

一、题目

设矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}
1 & b & -1 \\
a + 2 & 3 & -3a
\end{pmatrix}$. 若二次型 $\boldsymbol{x}^{\top} (\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\top}) \boldsymbol{x}$ 的规范形为 $\boldsymbol{y}_{1}^{2}$, 则 $a + b =$____

一、题目

设 $3$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$，$\boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{AB}$ $+$ $\boldsymbol{BA}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{2}$ $+$ $\boldsymbol{B}^{2}$，且 $\boldsymbol{A}\neq\boldsymbol{B}$，则下列结论错误的是（ ）

»A« $(\boldsymbol{A} – \boldsymbol{B})^{3} = \boldsymbol{O}$

»B« $\boldsymbol{A} – \boldsymbol{B}$ 只有零特征值

»C« $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{B}$ 不能都是对角矩阵

»D« $\boldsymbol{A} – \boldsymbol{B}$ 只有一个线性无关的特征向量

一、题目

设矩阵 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$，$\boldsymbol{C}$ $=$ $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ a & b \end{pmatrix}$，若存在矩阵 $\boldsymbol{B}$, 使得 $\boldsymbol{AB} = \boldsymbol{C}$，则（ ）

»A« $a = -1$, $b = -1$

»B« $a = 2$, $b = 2$

»C« $a = -1$, $b = 2$

»D« $a = 2$, $b = -1$

一、题目

单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 经过若干次互换两行得到的矩阵称为置换矩阵. 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶置换矩阵，$\boldsymbol{A}^{*}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，则（ ）

»A« $\boldsymbol{A}^{*}$ 为置换矩阵

»B« $\boldsymbol{A}^{-1}$ 为置换矩阵

»C« $\boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{A}^{*}$

»D« $\boldsymbol{A}^{-1} = -\boldsymbol{A}^{*}$

难度评级：

二、解析

传统解法

首先，根据《什么是置换矩阵？》这篇讲义，可设：

$$
\boldsymbol{A} = \boldsymbol{E}_{i_{1} j_{1}} \boldsymbol{E}_{i_{2} j_{2}} \cdots \boldsymbol{E}_{i_{n} j_{n}}
$$

接着，由初等矩阵的性质可知：

$$
\begin{aligned}
& \left(\boldsymbol{E}_{ij}\right)^{\top} = \boldsymbol{E}_{ij} \\ \\
& \left(\boldsymbol{E}_{ij}\right)^{-1} = \boldsymbol{E}_{ij}
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A}^{-1} & = \left( \boldsymbol{E}_{i_{1} j_{1}} \boldsymbol{E}_{i_{2} j_{2}} \cdots \boldsymbol{E}_{i_{n} j_{n}} \right) \\ \\
& = \left(\boldsymbol{E}_{i_{n} j_{n}}\right)^{-1} \cdots \left(\boldsymbol{E}_{i_{2} j_{2}}\right)^{-1} \cdot \left(\boldsymbol{E}_{i_{1} j_{1}}\right)^{-1} \\ \\
& = \boldsymbol{E}_{i_{n} j_{n}} \cdots \boldsymbol{E}_{i_{2} j_{2}} \boldsymbol{E}_{i_{1} j_{1}}
\end{aligned}
$$

因此可知，$\boldsymbol{A}^{-1}$ 仍为置换矩阵，B 选项正确.

此外，由伴随矩阵的运算性质可得：

$$
\boldsymbol{A}^{*} = \begin{vmatrix}
\boldsymbol{A}
\end{vmatrix} \cdot \boldsymbol{A}^{-1} = (-1)^{n} \boldsymbol{A}^{-1}
$$

即：

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 当 $n$ 为偶数时，$\boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{A}^{*}$， 且 $\boldsymbol{A}^{*}$ 为置换矩阵；

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 当 $n$ 为奇数时，$\boldsymbol{A}^{-1} = -\boldsymbol{A}^{*}$, 且 $\boldsymbol{A}^{*}$ 不是置换矩阵.

因此，选项 A, 选项 C 和选项 D 都不完全正确.

峰式解法

由「荒原之梦考研数学」的《初等变换求逆法的形象理解》可知，从矩阵 $\boldsymbol{A}$ 到其逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的过程中，需要经过相对于单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 相反的初等变换，但由于从单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 到置换矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的过程中只经过了对换操作，因此，从单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 到逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的过程中也只需要进行（相反的）对换操作，所以，逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 一定是一个置换矩阵，B 选项正确.

由于 $\boldsymbol{A}^{*} = \begin{vmatrix}
\boldsymbol{A}
\end{vmatrix} \cdot \boldsymbol{A}^{-1}$, 所以，$\boldsymbol{A}^{*}$ 和 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 之间是需要经过数乘运算的，虽然 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 一定是置换矩阵，但只有当 $\begin{vmatrix}
A
\end{vmatrix} = 1$ 时，伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^{*}$ 才是置换矩阵，A 选项错误.

由于置换矩阵是由对换操作得到的，每进行一次对换操作，行列式的取值都要乘以 $-1$, 又由于 $\boldsymbol{A}^{*} = \begin{vmatrix}
\boldsymbol{A}
\end{vmatrix} \cdot \boldsymbol{A}^{-1}$, 但是 $\begin{vmatrix}
\boldsymbol{A}
\end{vmatrix}$ 的正负不确定，所以 C 选项和 D 选项都不正确.

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