若 $\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{vmatrix} = m$, 则 $\begin{vmatrix} a_{1} & 2c_{1}-5b_{1} & 3b_{1} \\ a_{2} & 2c_{2}-5b_{2} & 3b_{2} \\ a_{3} & 2c_{3}-5b_{3} & 3b_{3} \end{vmatrix} = ?$
已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) = 3 x_{1}^{2} + 4 x_{2}^{2} + 3 x_{3}^{2} + 2 x_{1} x_{3}$.
（Ⅰ）求正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$, 使正交变换 $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$ 将 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化为标准形；
（Ⅱ）证明 $\min\limits_{\boldsymbol{x} \neq 0} \dfrac{f\left(\boldsymbol{x}\right)}{\boldsymbol{x}^{\top} \boldsymbol{x}} = 2$.
由二次型 $f$ 的表达式 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) = 3 x_{1}^{2} + 4 x_{2}^{2} + 3 x_{3}^{2} + 2 x_{1} x_{3}$ 可知，二次型 $f$ 对应的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 为：
$$
\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}
3 & 0 & 1 \\
0 & 4 & 0 \\
1 & 0 & 3
\end{pmatrix}
$$
接着，通过矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征多项式求解矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值：
$$
\begin{aligned}
\begin{vmatrix}
\lambda \boldsymbol{E} – \boldsymbol{A}
\end{vmatrix} & = \begin{vmatrix}
\lambda – 3 & 0 & -1 \\
0 & \lambda – 4 & 0 \\
-1 & 0 & \lambda – 3
\end{vmatrix} \\ \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \textcolor{gray}{\text{在第二行展开这个行列式}} \\ \\
& = \left(\lambda – 4\right) \begin{vmatrix}
\lambda – 3 & -1 \\
-1 & \lambda – 3
\end{vmatrix} \\ \\
& = \left(\lambda – 4\right) \cdot \left[ \left(\lambda – 3 \right)^{2} – 1 \right] \\ \\
& = \left(\lambda – 4\right) \left(\lambda^{2} – 6 \lambda + 9 – 1\right) \\ \\
& = \left(\lambda – 4\right) \left(\lambda^{2} – 6 \lambda + 8\right) \\ \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{cases}
\lambda – 4 = 0 \\
\lambda^{2} – 6 \lambda + 8 = 0
\end{cases} \\ \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \textcolor{lightgreen}{ \lambda_{1} = 2, \, \lambda_{2} = 4, \, \lambda_{3} = 4 }
\end{aligned}
$$
在有的解析中，会先将 $\left(\lambda – 4\right) \left(\lambda^{2} – 6 \lambda + 8\right)$ 转换为 $\left(\lambda – 4\right)^{2} \left(\lambda – 2\right)$ 后，再求解 $\lambda$ 的取值，事实上，这一步完全没有必要. 因为，转换的过程中需要先将 $\left(\lambda^{2} – 6 \lambda + 8\right)$ 转为 $\left( \lambda – 4 \right) \left( \lambda + 2 \right)$, 但在这一步中，我们就已经求解出来了 $\lambda$ 的两个取值.
于是，根据特征值的计算公式 $\left( \lambda_{i} \boldsymbol{E} – \boldsymbol{A} \right) \boldsymbol{\alpha}_{i} = \left( \boldsymbol{A} – \lambda_{i} \boldsymbol{E} \right) \boldsymbol{\alpha}_{i} = 0$, 可知：
$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 当 $\lambda = 2$ 时：
$$
2 \boldsymbol{E} – \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}
-1 & 0 & -1 \\
0 & -2 & 0 \\
-1 & 0 & -1
\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \to \textcolor{lightgreen}{ \boldsymbol{\alpha}_{3} = \begin{pmatrix}
-1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
}
$$
$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 当 $\lambda = 4$ 时：
$$
4 \boldsymbol{E} – \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \to \textcolor{lightgreen}{ \boldsymbol{\alpha}_{1} = \begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix} }, \, \textcolor{lightgreen}{ \boldsymbol{\alpha}_{2} = \begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix} }
$$
$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 经过计算验证可知，向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 已经是正交向量：
$$
\begin{aligned}
& \ \boldsymbol{\alpha}_{1}^{\top} \boldsymbol{\alpha}_{2} = \begin{pmatrix}
0, 1, 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix} = 0 \\ \\
& \ \boldsymbol{\alpha}_{1}^{\top} \boldsymbol{\alpha}_{3} = \begin{pmatrix}
0, 1, 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
-1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix} = 0 \\ \\
& \ \boldsymbol{\alpha}_{2}^{\top} \boldsymbol{\alpha}_{3} = \begin{pmatrix}
0, 1, 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
-1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix} = 0 \\ \\
\end{aligned}
$$
$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 因此，直接对向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 进行单位化即可：
$$
\boldsymbol{\beta}_{1} = \boldsymbol{\alpha}_{1} = \begin{pmatrix}
0 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}, \, \boldsymbol{\beta}_{2} = \frac{\boldsymbol{\alpha}_{2}}{\left|\boldsymbol{\alpha}_{2}\right|} = \begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}, \, \boldsymbol{\beta}_{3} = \frac{\boldsymbol{\alpha}_{3}}{\left|\boldsymbol{\alpha}_{3}\right|} = \begin{pmatrix}
\frac{-1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
$$
综上，可得：
$$
\boldsymbol{Q} = \begin{pmatrix}
0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{-1}{\sqrt{2}} \\
1 & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
$$
同时可知，正交变换 $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$ 对应的标准型为：
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) = f = 4 y_{1}^{2} + 4 y_{2}^{2} + 2 y_{3}^{2}
$$
$\textcolor{orange}{\blacktriangleright}$ 注意 1：在上面的计算过程中，之所以由 $\boldsymbol{Q} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{-1}{\sqrt{2}} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$ 可以得出 $f = 4 y_{1}^{2} + 4 y_{2}^{2} + 2 y_{3}^{2}$, 是因为，根据二次型的定义可知：$\boldsymbol{Q}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{Q}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{-1}{\sqrt{2}} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}^{\top} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{-1}{\sqrt{2}} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$.
$\textcolor{orange}{\blacktriangleright}$ 注意 2：根据 $\lambda$ 的先后顺序不同，矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 和对应的标准型 $f$ 也可以是如下这些形式：
$$
\begin{aligned}
& \ \textcolor{white}{\blacktriangleright} \boldsymbol{Q} = \begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{-1}{\sqrt{2}} \\
0 & 1 & 0 \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}, \, f = 4 y_{1}^{2} + 4 y_{2}^{2} + 2 y_{3}^{2} \\ \\
& \ \textcolor{white}{\blacktriangleright} \boldsymbol{Q} = \begin{pmatrix}
\frac{-1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
0 & 1 & 0 \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}, \, f = 2 y_{1}^{2} + 4 y_{2}^{2} + 4 y_{3}^{2} \\ \\
& \ \textcolor{white}{\blacktriangleright} \boldsymbol{Q} = \begin{pmatrix}
\frac{-1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0
\end{pmatrix}, \, f = 2 y_{1}^{2} + 4 y_{2}^{2} + 4 y_{3}^{2} \\ \\
& \ \textcolor{white}{\blacktriangleright} \boldsymbol{Q} = \begin{pmatrix}
0 & \frac{-1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
1 & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}, \, f = 4 y_{1}^{2} + 2 y_{2}^{2} + 4 y_{3}^{2} \\ \\
& \ \textcolor{white}{\blacktriangleright} \boldsymbol{Q} = \begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{-1}{\sqrt{2}} & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0
\end{pmatrix}, \, f = 4 y_{1}^{2} + 2 y_{2}^{2} + 4 y_{3}^{2} \\ \\
\end{aligned}
$$
$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 分析可知，第（Ⅱ）问要求解的式子 “$\min\limits_{\boldsymbol{x} \neq 0} \dfrac{f\left(\boldsymbol{x}\right)}{\boldsymbol{x}^{\top} \boldsymbol{x}} = 2$” 中向量 $\boldsymbol{x}$ 的内积 “$\boldsymbol{x}^{\top} \boldsymbol{x}$” 实际上就是向量长度的平方，因为向量的长度就是用根号下向量的内积表示的.
例如，向量 $\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} x_{1}, x_{2}, \cdots x_{n} \end{pmatrix}$ 的长度 $\lVert \boldsymbol{x} \rVert$ 为：
$$
\lVert \boldsymbol{x} \rVert = \sqrt{\boldsymbol{x}^{\top} \boldsymbol{x}} = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \cdots + x_{n}^{2}}
$$
类似的，向量 $\boldsymbol{y} = \begin{pmatrix} y_{1}, y_{2}, \cdots y_{n} \end{pmatrix}$ 的长度 $\lVert \boldsymbol{y} \rVert$ 为：
$$
\lVert \boldsymbol{y} \rVert = \sqrt{\boldsymbol{y}^{\top} \boldsymbol{y}} = \sqrt{y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + \cdots + y_{n}^{2}}
$$
$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 接着，从「荒原之梦考研数学」的《全面理解正交向量与正交矩阵》这篇讲义可知，正交变换 $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$ 只会改变向量的方向，不会改变向量的长度，所以：
$$
\begin{aligned}
& \ \lVert \boldsymbol{x} \rVert = \lVert \boldsymbol{y} \rVert \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \lVert \boldsymbol{x} \rVert^{2} = \lVert \boldsymbol{y} \rVert^{2} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{lightgreen}{ \boldsymbol{x}^{\top} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{y}^{\top} \boldsymbol{y} }
\end{aligned}
$$
当然，对于 $\textcolor{lightgreen}{ \boldsymbol{x}^{\top} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{y}^{\top} \boldsymbol{y} }$ 这个结论，我们也可以通过下面的步骤完成证明：
$$
\begin{aligned}
& \ \boldsymbol{x} = \boldsymbol{Q} \boldsymbol{y} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \boldsymbol{x}^{\top} \boldsymbol{x} = \left( \boldsymbol{Q} \boldsymbol{y} \right)^{\top} \left( \boldsymbol{Q} \boldsymbol{y} \right) \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \boldsymbol{x}^{\top} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{y}^{\top} \boldsymbol{Q}^{\top} \boldsymbol{Q} \boldsymbol{y} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \boldsymbol{x}^{\top} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{y}^{\top} \left( \boldsymbol{Q}^{\top} \boldsymbol{Q} \right) \boldsymbol{y} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \boldsymbol{x}^{\top} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{y}^{\top} \boldsymbol{E} \boldsymbol{y} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{lightgreen}{ \boldsymbol{x}^{\top} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{y}^{\top} \boldsymbol{y} }
\end{aligned}
$$
$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 综上：
$$
\begin{aligned}
\frac{f}{\boldsymbol{x}^{\top} \boldsymbol{x}} & = \frac{f}{\boldsymbol{y}^{\top} \boldsymbol{y}} \\ \\
& = \frac{4 y_{1}^{2} + 4 y_{2}^{2} + 2 y_{3}^{2}}{y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2}} \\ \\
& = \frac{2 y_{1}^{2} + 2 y_{2}^{2} + 2 y_{3}^{2}}{y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2}} + \frac{2 y_{1}^{2} + 2 y_{2}^{2}}{y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2}} \\ \\
& = 2 + \frac{2 y_{1}^{2} + 2 y_{2}^{2}}{y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2}}
\end{aligned}
$$
又因为，$\frac{2 y_{1}^{2} + 2 y_{2}^{2}}{y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2}}$ 中都是平方项，一定大于等于零，所以：
$$
\frac{f}{\boldsymbol{x}^{\top} \boldsymbol{x}} = 2 + \frac{2 y_{1}^{2} + 2 y_{2}^{2}}{y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2}} \geqslant 2
$$
由于 $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$, 所以，当 $\boldsymbol{x} = \left( x_{1}, x_{2}, x_{3} \right)$ 的时候，$\boldsymbol{y} = \left( y_{1}, y_{2}, y_{3} \right)$.
$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 因此可知，$\min_{\boldsymbol{x} \neq 0} \frac{f}{\boldsymbol{x}^{\top} \boldsymbol{x}} = 2$ 得证.
$\textcolor{orange}{\blacktriangleright}$ 注意 3：虽然下面的式子也是正确的，但是，仅凭下面的式子，我们只能直接得出 $\frac{4 y_{1}^{2} + 4 y_{2}^{2} + 2 y_{3}^{2}}{y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2}}$ 的取值范围在 $\left[ 0, 4 \right]$ 上，而不能直接说 $\frac{4 y_{1}^{2} + 4 y_{2}^{2} + 2 y_{3}^{2}}{y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2}}$ 的最小值为 $2$, 最大值为 $4$:
$$
\frac{4 y_{1}^{2} + 4 y_{2}^{2} + \textcolor{pink}{2} y_{3}^{2}}{y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2}} \geqslant \frac{\textcolor{pink}{2} y_{1}^{2} + \textcolor{pink}{2} y_{2}^{2} + \textcolor{pink}{2} y_{3}^{2}}{y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2}} = 2
$$
$$
\frac{\textcolor{lightblue}{4} y_{1}^{2} + \textcolor{lightblue}{4} y_{2}^{2} + 2 y_{3}^{2}}{y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2}} \leqslant \frac{\textcolor{lightblue}{4} y_{1}^{2} + \textcolor{lightblue}{4} y_{2}^{2} + \textcolor{lightblue}{4} y_{3}^{2}}{y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2}} = 4
$$
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
根据「荒原之梦考研数学」《相似变换、合同变换和正交变换三者之间的包含关系》这篇讲义可知，正交矩阵是正交变换的基础，同时，我们也知道，正交向量又是正交矩阵的基础.
在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们详细讲解什么是正交向量，什么是正交矩阵，同时帮助同学们理清楚正交向量与正交矩阵之间的一个容易混淆的知识点.
继续阅读“全面理解正交向量与正交矩阵”设 $\boldsymbol{A}$ 为 $3$ 阶矩阵，交换 $\boldsymbol{A}$ 的第 $2$ 行和第 $3$ 行，再将第 $2$ 列的 $-1$ 倍加到第一列，得到矩阵 $\begin{bmatrix} -2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$, 则 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的迹 $\operatorname{tr} \left(\boldsymbol{A}^{-1}\right) = \underline{\qquad\qquad}$.
设 $\boldsymbol{\alpha}_{1} = \left( \lambda, 1, 1 \right)^{\top}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2} = \left( 1, \lambda, 1 \right)^{\top}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3} = \left( 1, 1, \lambda \right)^{\top}$, $\boldsymbol{\alpha}_{4} = \left( 1, \lambda, \lambda^{2} \right)^{\top}$, 若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 与 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 等价，则 $\lambda$ 的取值范围是 $\left( \quad \right)$
»A« $\left\{0, 1\right\}$
»B« $\left\{\lambda \ \middle| \ \lambda \in \mathbb{R}, \lambda \neq -2\right\}$
»C« $\left\{\lambda \ \middle| \ \lambda \in \mathbb{R}, \lambda \neq -1, \lambda \neq -2\right\}$
»D« $\left\{\lambda \ \middle| \ \lambda \in \mathbb{R}, \lambda \neq -1\right\}$
设矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \end{pmatrix}$，$\boldsymbol{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$，则线性方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 解的情况为 $\left( \quad \right)$
»A« 无解
»B« 有解
»C« 有无穷多解或无解
»D« 有唯一解或无解
本题中的方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 是一个非齐次线性方程组，对于非齐次线性方程组解的判断，需要用到该方程组 $n$ 阶系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩 $\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A} \right)$, 以及该方程组增广矩阵（或称“扩展矩阵”）的秩 $\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A}, \boldsymbol{b} \right)$:
于是——
观察可知，本题中的非线性方程组系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 其实对应于一个范德蒙行列式:
$$
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \end{pmatrix}^{\top} = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & a & b \\
1 & a^{2} & b^{2}
\end{pmatrix}
$$
又因为，矩阵的转置操作不会改变行列式的值，即：
$$
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{A}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
\boldsymbol{A}^{\top}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & a & b \\
1 & a^{2} & b^{2}
\end{vmatrix}
$$
因此，由范德蒙行列式的计算公式，直接可得：
$$
\begin{aligned}
\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} & = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & a & b \\
1 & a^{2} & b^{2}
\end{vmatrix} \\ \\
& = \left(a – 1\right) \cdot \left(b – 1\right) \cdot \left(b – a\right)
\end{aligned}
$$
又因为题目所给的方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 的增广矩阵为：
$$
\left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right) = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^{2} & 2 \\ 1 & b & b^{2} & 4
\end{pmatrix}
$$
所以：
$$
\begin{aligned}
& \ \left(a – 1\right) \cdot \left(b – 1\right) \cdot \left(b – a\right) \neq 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \begin{cases}
\begin{rcases}
a \neq 1 \\
b \neq 1
\end{rcases} \leadsto \begin{cases}
\textcolor{lightgreen}{ a \neq a^{2} } \\
\textcolor{lightgreen}{ b \neq b^{2} }
\end{cases} \\
a \neq b \leadsto \textcolor{lightgreen}{ a^{2} \neq b^{2} }
\end{cases}
\end{aligned}
$$
所以：
$$
r\left(\boldsymbol{A}\right) = r\left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right) = 3
$$
因此，方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 此时有唯一解.
$$
\left(a – 1\right) \cdot \left(b – 1\right) \cdot \left(b – a\right) = 0
$$
也就是：
$a = 1$ 或者 $b = 1$ 或者 $a = b$
换句话说，就是：
$a = 1$ 或者 $b = 1$ 或者 $a=b=1$
以 $a=b=1$ 为例可知：
$$
\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A} \right) = \mathbf{r} \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix} = \mathbf{r} \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} = 1
$$
$$
\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A}, \boldsymbol{b} \right) = \mathbf{r} \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 1 & 4
\end{pmatrix} = \mathbf{r} \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 4
\end{pmatrix} \neq 1
$$
所以：
$$
\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\right) \neq \mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)
$$
因此，方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 此时无解.
综上可知，方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 有唯一解，或者无解，»D« 选项 正确 .
直接对方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 的增广矩阵 $\left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)$ 作初等行变换：
$$
\left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)= \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & a & a^{2} & 2 \\
1 & b & b^{2} & 4
\end{pmatrix} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & a-1 & a^{2}-1 & 1 \\
0 & b-1 & b^{2}-1 & 3
\end{pmatrix}
$$
于是，分情况讨论可知：
综上所述，方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的解的情况只有两种可能，即：有唯一解或无解，所以，»D« 选项 正确 .
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $3$ 阶矩阵，$\boldsymbol{\Lambda} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，则 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $1$，$-1$，$0$ 的充分必要条件是 $\left( \quad \right)$
»A« 存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, $\boldsymbol{Q}$, 使得 $\boldsymbol{A} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{Q}$
»B« 存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{A} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{P}^{-1}$
»C« 存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$, 使得 $\boldsymbol{A} = \boldsymbol{Q}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{Q}^{-1}$
»D« 存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{A} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{P}^{\top}$
根据《线性代数中“对角化”相关概念与性质的联合讲解》这篇讲义可知，只有相似对角化和正交对角化可以保证矩阵的特征值不发生变化，因此，»A« 选项和 »D« 选项 错误 .
又因为正交对角化只是相似对角化的特例或者说子集，由于“前充分，后必要；小充分，大必要”的性质，所以，»C« 选项的必要性不成立，»C« 选项 错误 .
于是可知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 必须是可以相似对角化，而 »B« 选项中给出的 $\boldsymbol{A} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{P}^{-1}$ 刚好可以推导出 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{\Lambda}$, 从而证明矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以相似对角化，必要性成立.
同时，由题干中给出的三个互不相等的特征值 $1$，$-1$，$0$, 也可以推导出矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以相似对角化的结论，充分性成立.
综上可知，题干的充分必要条件是 »B« 选项.
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
在本文中，「荒原之梦考研数学」将对线性代数中的四种“对角化”给出全面的对比讲解：
$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 对于一个方阵 $\boldsymbol{A}$, 如果存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得下式成立：
$$
\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{\Lambda}
$$
其中，$\boldsymbol{\Lambda}$ 是对角矩阵，则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以相似对角化，且 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{\Lambda}$ 互为相似矩阵.
$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 对于一个实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$, 如果存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得下式成立：
$$
\boldsymbol{P}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{\Lambda}
$$
其中，$\boldsymbol{\Lambda}$ 是对角矩阵，则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以合同对角化，且 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{\Lambda}$ 互为合同矩阵.
$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 对于一个方阵 $\boldsymbol{A}$, 如果存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$, 使得下式成立：
$$
\boldsymbol{Q}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{\Lambda}
$$
其中，$\boldsymbol{\Lambda}$ 是对角矩阵，则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以正交对角化，或者说，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$ 正交相似.
根据《相似变换、合同变换和正交变换三者之间的包含关系》可知，正交对角化可以看作是相似对角化与合同对角化共同的特殊情况，因此，正交对角化同时具有相似对角化与合同对角化的部分性质（不是全部性质）：
$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 一般的对角化就是存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和 $\boldsymbol{Q}$, 使得下式成立：
$$
\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{\Lambda}
$$
其中，$\boldsymbol{\Lambda}$ 为关于主对角线对称的对角矩阵.
[1]. 《“只有”、“只有当”和“当且仅当”的逻辑区别》
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
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在数学和逻辑表达中，条件关系通常分为三类：充分条件、必要条件和充要条件. 而在具体描述这些条件关系的时候，我们通常会使用诸如“只有”、“只有当”和“当且仅当”等词语，理解这些词语的准确而含义，有助于我们准确判断命题之间的逻辑关系.
在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解一下这些常用的条件关系词语的含义.
继续阅读““只有”、“只有当”和“当且仅当”的逻辑区别”设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为三阶矩阵，且 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} = 3$, $\begin{vmatrix} \boldsymbol{B} \end{vmatrix} = 2$, $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A}^{-1} + \boldsymbol{B} \end{vmatrix} = 2$, 则 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}^{-1} \end{vmatrix} = ?$
难度评级：
继续阅读“峰式 | 用数字和排列组合探究逆矩阵乘法运算的特性”设矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & a & b \end{pmatrix}$ 仅有两个不同的特征值. 若 $\boldsymbol{A}$ 相似于对角矩阵，求 $a, b$ 的值，并求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使 $\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}$ 为对角矩阵.
难度评级：
继续阅读“2021年考研数二第22题解析：相似对角化”在下面的式子中，列向量 $\begin{pmatrix} \text{金} & \text{木} & \text{水} & \text{火} & \text{土} \end{pmatrix}^{\top}$ 和行向量 $\begin{pmatrix} \text{金} & \text{木} & \text{水} & \text{火} & \text{土} \end{pmatrix}$ 相乘（外积）所得的 $5 \times 5$ 的矩阵中，每一个元素都是一个真实存在的汉字：
$$
\begin{pmatrix}
\text{金} \\
\text{木} \\
\text{水} \\
\text{火} \\
\text{土}
\end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix}
\text{金} & \text{木} & \text{水} & \text{火} & \text{土}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\text{鍂} & \text{鈢} & \text{淦} & \text{鈥} & \text{釷} \\
\text{鈢} & \text{林} & \text{沐} & \text{炑} & \text{杜} \\
\text{淦} & \text{沐} & \text{沝} & \text{淡} & \text{汢} \\
\text{鈥} & \text{炑} & \text{淡} & \text{炎} & \text{灶} \\
\text{釷} & \text{杜} & \text{汢} & \text{灶} & \text{圭} \\
\end{pmatrix}
$$
当然，基于天干地支纪年法，也可以表示向量乘法运算（外积）：
$$
\begin{aligned}
& \begin{pmatrix}
\tiny{\text{甲}} \\
\tiny{\text{乙}} \\
\tiny{\text{丙}} \\
\tiny{\text{丁}} \\
\tiny{\text{戊}} \\
\tiny{\text{己}} \\
\tiny{\text{庚}} \\
\tiny{\text{辛}} \\
\tiny{\text{壬}} \\
\tiny{\text{癸}}
\end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix}
\tiny{\text{子}} & \tiny{\text{丑}} & \tiny{\text{寅}} & \tiny{\text{卯}} & \tiny{\text{辰}} & \tiny{\text{巳}} & \tiny{\text{午}} & \tiny{\text{未}} & \tiny{\text{申}} & \tiny{\text{酉}} & \tiny{\text{戌}} & \tiny{\text{亥}}
\end{pmatrix} \\
= & \begin{pmatrix}
\tiny{\text{甲子}} & & \tiny{\text{甲寅}} & & \tiny{\text{甲辰}} & & \tiny{\text{甲午}} & & \tiny{\text{甲申}} & & \tiny{\text{甲戌}} & \\
& \tiny{\text{乙丑}} & & \tiny{\text{乙卯}} & & \tiny{\text{乙巳}} & & \tiny{\text{乙未}} & & \tiny{\text{乙酉}} & & \tiny{\text{乙亥}} \\
\tiny{\text{丙子}} & & \tiny{\text{丙寅}} & & \tiny{\text{丙辰}} & & \tiny{\text{丙午}} & & \tiny{\text{丙申}} & & \tiny{\text{丙戌}} & \\
& \tiny{\text{丁丑}} & & \tiny{\text{丁卯}} & & \tiny{\text{丁巳}} & & \tiny{\text{丁未}} & & \tiny{\text{丁酉}} & & \tiny{\text{丁亥}} \\
\tiny{\text{戊子}} & & \tiny{\text{戊寅}} & & \tiny{\text{戊辰}} & & \tiny{\text{戊午}} & & \tiny{\text{戊申}} & & \tiny{\text{戊戌}} & \\
& \tiny{\text{己丑}} & & \tiny{\text{己卯}} & & \tiny{\text{己巳}} & & \tiny{\text{己未}} & & \tiny{\text{己酉}} & & \tiny{\text{己亥}} \\
\tiny{\text{庚子}} & & \tiny{\text{庚寅}} & & \tiny{\text{庚辰}} & & \tiny{\text{庚午}} & & \tiny{\text{庚申}} & & \tiny{\text{庚戌}} & \\
& \tiny{\text{辛丑}} & & \tiny{\text{辛卯}} & & \tiny{\text{辛巳}} & & \tiny{\text{辛未}} & & \tiny{\text{辛酉}} & & \tiny{\text{辛亥}} \\
\tiny{\text{壬子}} & & \tiny{\text{壬寅}} & & \tiny{\text{壬辰}} & & \tiny{\text{壬午}} & & \tiny{\text{壬申}} & & \tiny{\text{壬戌}} & \\
& \tiny{\text{癸丑}} & & \tiny{\text{癸卯}} & & \tiny{\text{癸巳}} & & \tiny{\text{癸未}} & & \tiny{\text{癸酉}} & & \tiny{\text{癸亥}}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
注意：按照严格的干支纪年法，只有阴阳才能相配，一共有 60 个组合，即“六十甲子”. 因此，在上面的向量乘法运算中，用空位表示不属于六十甲子的组合.
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
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