设 $\boldsymbol{A}$ 为 $3$ 阶矩阵，交换 $\boldsymbol{A}$ 的第 $2$ 行和第 $3$ 行，再将第 $2$ 列的 $-1$ 倍加到第一列，得到矩阵 $\begin{bmatrix} -2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$, 则 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的迹 $\operatorname{tr} \left(\boldsymbol{A}^{-1}\right) = \underline{\qquad\qquad}$.
设 $\boldsymbol{\alpha}_{1} = \left( \lambda, 1, 1 \right)^{\top}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2} = \left( 1, \lambda, 1 \right)^{\top}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3} = \left( 1, 1, \lambda \right)^{\top}$, $\boldsymbol{\alpha}_{4} = \left( 1, \lambda, \lambda^{2} \right)^{\top}$, 若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 与 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 等价，则 $\lambda$ 的取值范围是 $\left( \quad \right)$
»A« $\left\{0, 1\right\}$
»B« $\left\{\lambda \ \middle| \ \lambda \in \mathbb{R}, \lambda \neq -2\right\}$
»C« $\left\{\lambda \ \middle| \ \lambda \in \mathbb{R}, \lambda \neq -1, \lambda \neq -2\right\}$
»D« $\left\{\lambda \ \middle| \ \lambda \in \mathbb{R}, \lambda \neq -1\right\}$
设矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \end{pmatrix}$，$\boldsymbol{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$，则线性方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 解的情况为 $\left( \quad \right)$
»A« 无解
»B« 有解
»C« 有无穷多解或无解
»D« 有唯一解或无解
本题中的方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 是一个非齐次线性方程组，对于非齐次线性方程组解的判断，需要用到该方程组 $n$ 阶系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩 $\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A} \right)$, 以及该方程组增广矩阵（或称“扩展矩阵”）的秩 $\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A}, \boldsymbol{b} \right)$:
于是——
观察可知，本题中的非线性方程组系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 其实对应于一个范德蒙行列式:
$$
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \end{pmatrix}^{\top} = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & a & b \\
1 & a^{2} & b^{2}
\end{pmatrix}
$$
又因为，矩阵的转置操作不会改变行列式的值，即：
$$
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{A}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
\boldsymbol{A}^{\top}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & a & b \\
1 & a^{2} & b^{2}
\end{vmatrix}
$$
因此，由范德蒙行列式的计算公式，直接可得：
$$
\begin{aligned}
\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} & = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & a & b \\
1 & a^{2} & b^{2}
\end{vmatrix} \\ \\
& = \left(a – 1\right) \cdot \left(b – 1\right) \cdot \left(b – a\right)
\end{aligned}
$$
又因为题目所给的方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 的增广矩阵为：
$$
\left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right) = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^{2} & 2 \\ 1 & b & b^{2} & 4
\end{pmatrix}
$$
所以：
$$
\begin{aligned}
& \ \left(a – 1\right) \cdot \left(b – 1\right) \cdot \left(b – a\right) \neq 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \begin{cases}
\begin{rcases}
a \neq 1 \\
b \neq 1
\end{rcases} \leadsto \begin{cases}
\textcolor{lightgreen}{ a \neq a^{2} } \\
\textcolor{lightgreen}{ b \neq b^{2} }
\end{cases} \\
a \neq b \leadsto \textcolor{lightgreen}{ a^{2} \neq b^{2} }
\end{cases}
\end{aligned}
$$
所以：
$$
r\left(\boldsymbol{A}\right) = r\left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right) = 3
$$
因此，方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 此时有唯一解.
$$
\left(a – 1\right) \cdot \left(b – 1\right) \cdot \left(b – a\right) = 0
$$
也就是：
$a = 1$ 或者 $b = 1$ 或者 $a = b$
换句话说，就是：
$a = 1$ 或者 $b = 1$ 或者 $a=b=1$
以 $a=b=1$ 为例可知：
$$
\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A} \right) = \mathbf{r} \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix} = \mathbf{r} \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} = 1
$$
$$
\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A}, \boldsymbol{b} \right) = \mathbf{r} \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 1 & 4
\end{pmatrix} = \mathbf{r} \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 4
\end{pmatrix} \neq 1
$$
所以：
$$
\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\right) \neq \mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)
$$
因此，方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 此时无解.
综上可知，方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 有唯一解，或者无解，»D« 选项 正确 .
直接对方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 的增广矩阵 $\left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)$ 作初等行变换：
$$
\left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)= \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & a & a^{2} & 2 \\
1 & b & b^{2} & 4
\end{pmatrix} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & a-1 & a^{2}-1 & 1 \\
0 & b-1 & b^{2}-1 & 3
\end{pmatrix}
$$
于是，分情况讨论可知：
综上所述，方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的解的情况只有两种可能，即：有唯一解或无解，所以，»D« 选项 正确 .
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $3$ 阶矩阵，$\boldsymbol{\Lambda} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，则 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $1$，$-1$，$0$ 的充分必要条件是 $\left( \quad \right)$
»A« 存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, $\boldsymbol{Q}$, 使得 $\boldsymbol{A} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{Q}$
»B« 存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{A} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{P}^{-1}$
»C« 存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$, 使得 $\boldsymbol{A} = \boldsymbol{Q}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{Q}^{-1}$
»D« 存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{A} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{P}^{\top}$
根据《线性代数中“对角化”相关概念与性质的联合讲解》这篇讲义可知，只有相似对角化和正交对角化可以保证矩阵的特征值不发生变化，因此，»A« 选项和 »D« 选项 错误 .
又因为正交对角化只是相似对角化的特例或者说子集，由于“前充分，后必要；小充分，大必要”的性质，所以，»C« 选项的必要性不成立，»C« 选项 错误 .
于是可知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 必须是可以相似对角化，而 »B« 选项中给出的 $\boldsymbol{A} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{P}^{-1}$ 刚好可以推导出 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{\Lambda}$, 从而证明矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以相似对角化，必要性成立.
同时，由题干中给出的三个互不相等的特征值 $1$，$-1$，$0$, 也可以推导出矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以相似对角化的结论，充分性成立.
综上可知，题干的充分必要条件是 »B« 选项.
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
在本文中，「荒原之梦考研数学」将对线性代数中的四种“对角化”给出全面的对比讲解：
$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 对于一个方阵 $\boldsymbol{A}$, 如果存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得下式成立：
$$
\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{\Lambda}
$$
其中，$\boldsymbol{\Lambda}$ 是对角矩阵，则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以相似对角化，且 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{\Lambda}$ 互为相似矩阵.
$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 对于一个实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$, 如果存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得下式成立：
$$
\boldsymbol{P}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{\Lambda}
$$
其中，$\boldsymbol{\Lambda}$ 是对角矩阵，则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以合同对角化，且 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{\Lambda}$ 互为合同矩阵.
$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 对于一个方阵 $\boldsymbol{A}$, 如果存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$, 使得下式成立：
$$
\boldsymbol{Q}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{\Lambda}
$$
其中，$\boldsymbol{\Lambda}$ 是对角矩阵，则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以正交对角化，或者说，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$ 正交相似.
根据《相似变换、合同变换和正交变换三者之间的包含关系》可知，正交对角化可以看作是相似对角化与合同对角化共同的特殊情况，因此，正交对角化同时具有相似对角化与合同对角化的部分性质（不是全部性质）：
$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 一般的对角化就是存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和 $\boldsymbol{Q}$, 使得下式成立：
$$
\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{\Lambda}
$$
其中，$\boldsymbol{\Lambda}$ 为关于主对角线对称的对角矩阵.
[1]. 《“只有”、“只有当”和“当且仅当”的逻辑区别》
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
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在数学和逻辑表达中，条件关系通常分为三类：充分条件、必要条件和充要条件. 而在具体描述这些条件关系的时候，我们通常会使用诸如“只有”、“只有当”和“当且仅当”等词语，理解这些词语的准确而含义，有助于我们准确判断命题之间的逻辑关系.
在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解一下这些常用的条件关系词语的含义.
继续阅读““只有”、“只有当”和“当且仅当”的逻辑区别”设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为三阶矩阵，且 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} = 3$, $\begin{vmatrix} \boldsymbol{B} \end{vmatrix} = 2$, $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A}^{-1} + \boldsymbol{B} \end{vmatrix} = 2$, 则 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}^{-1} \end{vmatrix} = ?$
难度评级：
继续阅读“峰式 | 用数字和排列组合探究逆矩阵乘法运算的特性”设矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & a & b \end{pmatrix}$ 仅有两个不同的特征值. 若 $\boldsymbol{A}$ 相似于对角矩阵，求 $a, b$ 的值，并求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使 $\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}$ 为对角矩阵.
难度评级：
继续阅读“2021年考研数二第22题解析：相似对角化”在下面的式子中，列向量 $\begin{pmatrix} \text{金} & \text{木} & \text{水} & \text{火} & \text{土} \end{pmatrix}^{\top}$ 和行向量 $\begin{pmatrix} \text{金} & \text{木} & \text{水} & \text{火} & \text{土} \end{pmatrix}$ 相乘（外积）所得的 $5 \times 5$ 的矩阵中，每一个元素都是一个真实存在的汉字：
$$
\begin{pmatrix}
\text{金} \\
\text{木} \\
\text{水} \\
\text{火} \\
\text{土}
\end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix}
\text{金} & \text{木} & \text{水} & \text{火} & \text{土}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\text{鍂} & \text{鈢} & \text{淦} & \text{鈥} & \text{釷} \\
\text{鈢} & \text{林} & \text{沐} & \text{炑} & \text{杜} \\
\text{淦} & \text{沐} & \text{沝} & \text{淡} & \text{汢} \\
\text{鈥} & \text{炑} & \text{淡} & \text{炎} & \text{灶} \\
\text{釷} & \text{杜} & \text{汢} & \text{灶} & \text{圭} \\
\end{pmatrix}
$$
当然，基于天干地支纪年法，也可以表示向量乘法运算（外积）：
$$
\begin{aligned}
& \begin{pmatrix}
\tiny{\text{甲}} \\
\tiny{\text{乙}} \\
\tiny{\text{丙}} \\
\tiny{\text{丁}} \\
\tiny{\text{戊}} \\
\tiny{\text{己}} \\
\tiny{\text{庚}} \\
\tiny{\text{辛}} \\
\tiny{\text{壬}} \\
\tiny{\text{癸}}
\end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix}
\tiny{\text{子}} & \tiny{\text{丑}} & \tiny{\text{寅}} & \tiny{\text{卯}} & \tiny{\text{辰}} & \tiny{\text{巳}} & \tiny{\text{午}} & \tiny{\text{未}} & \tiny{\text{申}} & \tiny{\text{酉}} & \tiny{\text{戌}} & \tiny{\text{亥}}
\end{pmatrix} \\
= & \begin{pmatrix}
\tiny{\text{甲子}} & & \tiny{\text{甲寅}} & & \tiny{\text{甲辰}} & & \tiny{\text{甲午}} & & \tiny{\text{甲申}} & & \tiny{\text{甲戌}} & \\
& \tiny{\text{乙丑}} & & \tiny{\text{乙卯}} & & \tiny{\text{乙巳}} & & \tiny{\text{乙未}} & & \tiny{\text{乙酉}} & & \tiny{\text{乙亥}} \\
\tiny{\text{丙子}} & & \tiny{\text{丙寅}} & & \tiny{\text{丙辰}} & & \tiny{\text{丙午}} & & \tiny{\text{丙申}} & & \tiny{\text{丙戌}} & \\
& \tiny{\text{丁丑}} & & \tiny{\text{丁卯}} & & \tiny{\text{丁巳}} & & \tiny{\text{丁未}} & & \tiny{\text{丁酉}} & & \tiny{\text{丁亥}} \\
\tiny{\text{戊子}} & & \tiny{\text{戊寅}} & & \tiny{\text{戊辰}} & & \tiny{\text{戊午}} & & \tiny{\text{戊申}} & & \tiny{\text{戊戌}} & \\
& \tiny{\text{己丑}} & & \tiny{\text{己卯}} & & \tiny{\text{己巳}} & & \tiny{\text{己未}} & & \tiny{\text{己酉}} & & \tiny{\text{己亥}} \\
\tiny{\text{庚子}} & & \tiny{\text{庚寅}} & & \tiny{\text{庚辰}} & & \tiny{\text{庚午}} & & \tiny{\text{庚申}} & & \tiny{\text{庚戌}} & \\
& \tiny{\text{辛丑}} & & \tiny{\text{辛卯}} & & \tiny{\text{辛巳}} & & \tiny{\text{辛未}} & & \tiny{\text{辛酉}} & & \tiny{\text{辛亥}} \\
\tiny{\text{壬子}} & & \tiny{\text{壬寅}} & & \tiny{\text{壬辰}} & & \tiny{\text{壬午}} & & \tiny{\text{壬申}} & & \tiny{\text{壬戌}} & \\
& \tiny{\text{癸丑}} & & \tiny{\text{癸卯}} & & \tiny{\text{癸巳}} & & \tiny{\text{癸未}} & & \tiny{\text{癸酉}} & & \tiny{\text{癸亥}}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
注意：按照严格的干支纪年法，只有阴阳才能相配，一共有 60 个组合，即“六十甲子”. 因此，在上面的向量乘法运算中，用空位表示不属于六十甲子的组合.
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
已知矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -5 \end{pmatrix}$ 若下三角可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和上三角可逆矩阵 $\boldsymbol{Q}$, 使 $\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}$ 为对角矩阵，则 $\boldsymbol{P}$, $\boldsymbol{Q}$ 可以分别取（ ）
»A« $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
»B« $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
»C« $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
»D« $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
题目告诉我们，$\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}$ 是一个对角矩阵，假设这个对角矩阵是 $\boldsymbol{\Lambda}$, 则：
$$
\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{\Lambda}
$$
于是（矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 可逆）：
$$
\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{Q}^{-1}
$$
由于可逆上三角矩阵的逆矩阵仍然是上三角矩阵（关于这一结论的传统证明方式点击这里查看，峰式图证明方式点击这里查看），所以，在矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 是一个上三角矩阵的情况下，矩阵 $\boldsymbol{Q}^{-1}$ 一定也是一个上三角矩阵.
又由「荒原之梦考研数学」的《峰图 | 基于乘法运算的图形性质理解为什么上（下）三角矩阵与对角矩阵相乘之后得到的仍是上（下）三角矩阵？》这篇文章可知，上三角矩阵左乘一个对角矩阵，得到的仍然是上三角矩阵. 因此，$\boldsymbol{P} \boldsymbol{A}$ 一定是上三角矩阵.
关于为什么矩阵 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A}$ 一定是一个上三角矩阵，也可以由《峰图 | 单位矩阵“拓印”过程的“面积”恒定定理》这篇文章中的结论得到.
又根据矩阵乘法运算的左行右列性质可知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 左边乘以的矩阵 $\boldsymbol{P}$ 相当于给矩阵 $\boldsymbol{A}$ 施加了一些初等行变换，因此，根据《初等变换求逆法的形象理解：把单位矩阵 E 看作一张“白纸”或“原点”》这篇文章中的思路可知，只要我们拿出来一个单位矩阵 $\boldsymbol{E}$, 用一系列初等行变换将矩阵 $\boldsymbol{A}$ 变成上三角矩阵，那么，矩阵 $\boldsymbol{E}$ 就会记录下来这些初等行变换，得到的矩阵就是矩阵 $\boldsymbol{P}$, 即：
$$
\begin{aligned}
\left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{E}\right) & = \begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & -5 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \\ \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -6 & 1 & 0 & 1
\end{pmatrix} \\ \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & 2 & 1
\end{pmatrix} \\ \\
& = \left(\boldsymbol{F}, \boldsymbol{P}\right)
\end{aligned}
$$
则：
$$
\boldsymbol{P} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & 1
\end{pmatrix}
$$
根据与上面相同的思路，前面的到的矩阵 $\boldsymbol{F}$ 实际上就是矩阵 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A}$, 那么，在矩阵 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A}$ 的右边乘以一个矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 就相当对矩阵 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A}$ 做了一系列来自矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 的列变换，使其变成对角矩阵.
所以，在 $\begin{pmatrix}
\boldsymbol{F} \\ \boldsymbol{E}
\end{pmatrix}$ 中，当矩阵 $\boldsymbol{F}$ 经过一系列初等列变换变成一个对角矩阵的时候，单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 就会变成矩阵 $\boldsymbol{Q}$, 即：
$$
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{F} \\ \boldsymbol{E}
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \\ \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \\ \\
& = \begin{pmatrix}
\boldsymbol{\Lambda} \\ \boldsymbol{Q}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
则：
$$
\boldsymbol{Q} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
需要注意的是，本题中的矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 并不是唯一的，上面的过程得到的矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 之所以和选项 »C« 中的矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 完全相同，可以认为是一种刻意的“巧合”.
关于为什么矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 不唯一，详细的解释在本文后面的“三、补充”这一章节中.
综上可知，本 题 应 选 C 
由于，在 »A« 选项中，$\boldsymbol{P} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 是一个单位矩阵，所以：
$$
\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{E} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}
$$
又因为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}$ 不是一个对角矩阵：
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \\ \\
= & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
所以，»A« 选项不正确.
由于，在 »B« 选项中，$\boldsymbol{Q} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 是一个单位矩阵，所以：
$$
\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{E} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{A}
$$
又因为 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A}$ 不是一个对角矩阵：
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} = & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -5 \end{pmatrix} \\ \\ \\
= & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
所以，»B« 选项不正确.
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q} = & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \\ \\
= & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \\ \\
= & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
所以，»C« 选项正确.
由于前面已经计算证明出了 »C« 选项是正确选项，所以，只有在为了做进一步验证或者平时练习的时候才建议对 »D« 选项也做如下的计算验证.
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q} = & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \\ \\
= & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 6 & -1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \\ \\
= & \ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 \\ 2 & 5 & -7 \\ 6 & 13 & -23 \end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
综上可知，本 题 应 选 C
事实上，满足本题题干要求的矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 并不是只有 »C« 选项所示的这一种组合——满足题目条件的矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 实际上有无穷多组.
得出上述结论的依据主要有以下三个：
本题也可以求解出矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 的通解——
首先，设：
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{P} & = \begin{pmatrix}
a & 0 & 0\\
b & c & 0 \\
d & e & f
\end{pmatrix} \\ \\
\boldsymbol{Q} & = \begin{pmatrix}
g & h & i \\
0 & j & k \\
0 & 0 & l
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
其中，$a,c,f,g,j,l \neq 0$.
且已知：
$$
\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -5 \end{pmatrix}
$$
于是，有：
$$
\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \begin{pmatrix}
ag & ah & a \left( i-l \right) \\
\left( b+2c \right) g & \left( b+2c \right) h-cj & \left( b+2c \right) i-ck+ \left( -b+c \right) l \\
\left( d+2e-f \right) g & \left( d+2e-f \right) h+ \left( -e+2f \right) j & \left( d+2e-f \right) i+ \left( -e+2f \right) k+ \left( -d+e-5f \right) l
\end{pmatrix}
$$
又因为 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}$ 是一个对角矩阵，所以：
$$
\begin{cases}
b=-2c \\
e=2f \\
d=-3f \\
h=0 \\
i=l \\
k=3l
\end{cases} \tag{1}
$$
此时：
$$
\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \begin{pmatrix}
ag & 0 & 0 \\
0 & cj & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
于是，由上面的 $(1)$ 式可知，满足条件的矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 的一般形式（通解）可以写成：
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{P} & = \begin{pmatrix}
a & 0 & 0 \\
-2c & c & 0 \\
-3f & 2f & f
\end{pmatrix} \\ \\
\boldsymbol{Q} & = \begin{pmatrix}
g & 0 & l \\
0 & j & 3l \\
0 & 0 & l
\end{pmatrix}
\end{aligned} \tag{2}
$$
其中
$$
a,c,f,g,j,l \neq 0.
$$
选项 »C« 对应的 $(2)$ 式中矩阵元素的取值（特解）是：
$$
\begin{cases}
a=1 \\
c=-1 \\
f=1 \\
g=1 \\
j=1 \\
l=1
\end{cases}
$$
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什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.
根据矩阵乘法运算的左行右列性质，一个上（下）三角矩阵左乘对角矩阵，就相当于上（下）三角矩阵的行都乘以对角矩阵对角线上对应的元素；一个上（下）三角矩阵右乘对角矩阵，就相当于上（下）三角矩阵的列都乘以对角矩阵对角线上对应的元素.
在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于矩阵乘法运算的图形化性质对上面的这一结论做一个形象化的说明.
继续阅读“峰图 | 基于乘法运算的图形性质理解为什么上（下）三角矩阵与对角矩阵相乘之后得到的仍是上（下）三角矩阵？”什么是“峰图”：
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在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过峰图所表现出的“拓印”过程，形象地揭示矩阵初等变换过程中一些有趣也有意义的现象.
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在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于矩阵乘法运算的图形性质，形象化地证明下面的定理：
