已知，事件 $A$, $B$, $C$ 之间存在如下关系：
$$
( \overline { A \cup B } ) C = \bar { A } C \cup \bar{B} C
$$
则下列说法正确的是哪个？
[A] $A$ $=$ $B$ $=$ $\bar{C}$
[B] $\bar{A} B C$ $=$ $\varnothing$
[C] $A$ $\cup$ $B$ $\subset$ $\bar{C}$
[D] $A$ $\subset$ $B$ $\subset$ $\bar{C}$
难度评级：
继续阅读“交集和并集相等的两个事件一定是相同的事件”已知事件 $A$ 和 $B$ 满足：
$$
A B = \bar { A } \bar { B }
$$
则下列关于 $A \cup B$ 的说法中，正确的是哪一个？
[A]. $A \cup B$ $=$ $\Omega$
[B]. $A \cup B$ $=$ $\varnothing$
[C]. $A \cup B$ $=$ $A$
[D]. $A \cup B$ $=$ $B$
难度评级：
继续阅读“用画图的方式求解概率论题目很方便，但难点在于如何画和怎么理解”
事件 $A$ 与其对立事件 $\bar{A}$ 可能相等吗？也就是说，下面这个式子成立吗：
$$
A = \bar{A}
$$
接下来，「荒原之梦考研数学」就给同学们阐释清楚上面这个问题。
继续阅读“事件与其对立事件可能相等吗？”在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过四个例子和相关图示讲明白以下两个概率论中的定理：
若用 $A$, $B$, $C$ 表示三个事件，请用 $A$, $B$, $C$ 以及概率论中的运算符号，表示下列事件：
难度评级：
继续阅读“并集表示“或”，交集表示“且””根据概率论中的摩根律，我们知道，对于事件 $A$ 和事件 $B$, 有：
$$
\begin{aligned}
\overline{A \cup B} & = \bar{A} \cap \bar{B} \\
\overline{A \cap B} & = \bar{A} \cup \bar{B}
\end{aligned}
$$
有关摩根律的推导和理解有很多种方式方法，在本文中，「荒原之梦考研数学」将对韦恩图（Venn）进行改进，从而更好的解释摩根律。
难度评级：
继续阅读“用改进的韦恩（Venn）图理解概率论中的“摩根律””已知三个事件 $A$, $B$, $C$, $P ( A \cup B )$ $=$ $0$, 则以下关于事件 $\bar{A}$, $\bar{B}$, $\bar{C}$ [Note-01] 的说法中，正确的是哪个？
[A]. 两两独立，但不一定三三独立
[B]. 全部相互独立 [Note-02]
[C]. 一定不两两独立
[D]. 不一定两两独立
难度评级：
继续阅读“空集和空集及任何集合相互独立，全集与全集及任何集合也相互独立”设 $X$ 服从区间 $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ 上的均匀分布，$Y=\sin X$, 则 $Cov(X,Y)=$
继续阅读“2020年研究生入学考试数学一第14题解析”设 $A$, $B$, $C$ 为三个随机事件，且 $P(A)$ $=$ $P(B)$ $=$ $P(C)$ $=$ $\frac{1}{4}$, $P(AB)$ $=$ $0$, $P(AC)$ $=$ $P(BC)$ $=$ $\frac{1}{12}$, 则 $A$, $B$, $C$ 中恰有一个发生的概率为 （ ）
A. $\frac{3}{4}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{5}{12}$
继续阅读“2020 年研究生入学考试数学一选择题第 7 题解析”$A$ 与 $B$ 为互斥（互不相容）事件 $\Leftrightarrow$ $A$ $\cap$ $B$ $=$ $\varnothing$ $\Leftrightarrow$ $A$ 与 $B$ 不能同时发生。
$A$ 与 $B$ 为对立（互逆）事件 $\Leftrightarrow$ $A$ $\cap$ $B$ $=$ $\varnothing$ 且 $A$ $\cup$ $B$ $=$ $\Omega$ $\Leftrightarrow$ $A$ 与 $B$ 在一次试验中必然发生且只能发生一个。
若 $P(A)$ $=$ $0$ 或 $P(A)$ $=$1$, 则 $A$ 与任何事件都相互独立。
若 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P(AB)$ $=$ $P(A)P(B)$.
若 $A$ 与 $B$ 互斥（或互逆）且均为非零概率事件，则 $A$ 与 $B$ 不相互独立。
若 $A$ 与 $B$ 相互独立且均为非零概率事件，则 $A$ 与 $B$ 不互斥。
$A$ 与 $B$ 互斥（互不相容）关系如图 1 所示：
$A$ 与 $B$ 对立（互逆）关系如图 2 所示：
$A$ 与 $B$ 相互独立关系如图 3 所示：
$A$ 与 $B$ 互逆，互斥与独立之间的推导关系如图 4 所示：
EOF
设随机变量 $Y$ 服从参数为 $1$ 的指数分布，$a$ 为常数且大于零，则 $P\{Y \leqslant a+1 | Y>a\}=$ __.
继续阅读“2013 年研究生入学考试数学一填空题第 6 题解析”设 $A,B,C$ 是随机事件，$A$ 与 $C$ 互不相容，$P(AB)$ $=$ $\frac{1}{2}$, $P(C)$ $=$ $\frac{1}{3}$, 则 $P(AB|\bar{C})$ $=$__.
$A$与 $C$ 互不相容 $\Rightarrow$ $A$ $\cap$ $C$ $=$ $\phi$ $\Rightarrow$ $P(AC)$ $=$ $P(\phi)$ $=$ $P(\phi \cap B)$ $\Rightarrow$ $P(AC \cap B)$ $=$ $0$.
于是，我们有：
$P(AB|\bar{C})$ $=$ $\frac{P(AB \bar{C})}{P(\bar{C})}$ $=$ $\frac{P[AB(1-C)]}{1-P(C)}$ $=$ $\frac{P(AB-ABC)}{1-P(C)}$ $=$ $\frac{P(AB)-P(AB \cap ABC)}{1-P(C)}$ $=$ $\frac{P(AB)-P(ABC)}{1-P(C)}$ $=$ $\frac{\frac{1}{2}-0}{\frac{2}{3}}$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\times$ $\frac{3}{2}$ $=$ $\frac{3}{4}$.
综上可知，正确答案：$\frac{3}{4}$.
EOF
设随机变量 $X$ 服从参数为 $1$ 的泊松分布，则 $P {X=E(X^{2})}$ $=$__.
每年考研数学一试卷中填空题的最后一题基本都是考一个概率论中的知识。本题考察的知识很明确，就是：泊松分布。
泊松分布的概念如下：
设随机变量 $X$ 的概率分布为：
$P {X=k}$ $=$ $\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$ $(\lambda>0,k=0,1,2,3 \dots)$
则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，记为 $X$ $\backsim$ $P(\lambda)$.
此外，在泊松分布中，数学期望 $E(X)$ $=$ $\lambda$, 方差 $D(X)$ $=$ $\lambda$.
最后，我们还需要知道 $E(X)$ 与 $D(X)$ 的关系公式：
$D(X)$ $=$ $E(X^{2})$ $-$ $[E(X)]^{2}$.
由题目信息可知，该题中泊松分布的参数 $\lambda=1$, 于是我们知道：
$E(X)$ $=$ $D(X)$ $=$ $1$.
由于题目中要求的表达式中含有 “$E(X^{2})$”, 而在 $E(X)$ 与 $D(X)$ 的关系式中也含有 “$E(X^{2})$”, 于是，我们有：
$E(X^{2})$ $=$ $D(X)$ $+$ $[E(X)]^{2}$.
进而有：
$E(X^{2})$ $=$ $1$ $+$ $1^{2}$ $=$ $1$ $+$ $1$ $=$ $2$.
于是，我们要求的表达式就变成了：
$P{X=E(X^{2})}$ $\Rightarrow$ $P{X=2}$.
至此，我们已经知道了泊松分布的计算公式中的两个未知量的数值，分别是：
$\lambda$ $=$ $1$, $k$ $=$ $E(X^{2})$ $=$ $2$.
于是，根据泊松分布的计算公式，我们有：
$P$ $=$ $\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$ $=$ $\frac{1^{2}e^{-1}}{2!}$ $=$ $\frac{e^{-1}}{2 \times 1}$ $=$ $\frac{1}{e}$ $\times$ $\frac{1}{2}$ $=$ $\frac{1}{2e}$.
综上可知，正确答案就是：$\frac{1}{2e}$.
EOF
设 $A$, $B$ 为随机事件，若 $0$ $<$ $P(A)$ $<$ $1$, $0$ $<$ $P(B)$ $<$ $1$, 则 $P(A|B)$ $>$ $P(A|\bar{B})$ 的充分必要条件是 ( )
( A ) $P(B|A)$ $>$ $P(B|\bar{A})$.
( B ) $P(B|A)$ $<$ $P(B|\bar{A})$.
( C ) $P(\bar{B}|A)$ $>$ $P(B|\bar{A})$.
( D ) $P(\bar{B}|A)$ $<$ $p(B|\bar{A})$.
本题中要找的是“充分必要条件”。根据充分必要条件的含义我们知道，如果事件 $A$ 和 $B$ 要满足充要条件就要有 $A$ $\rightarrow$ $B$ 且 $B$ $\rightarrow$ $A$.
但是，如果满足以下情况，也可以确定 $A$ 与 $B$ 是互相的充要条件：
设有事件 $A$, $B$, $C$, 当存在以下情况：
$A$ $\rightarrow$ $C$ 且 $C$ $\rightarrow$ $A$ 且 $B$ $\rightarrow$ $C$ 且 $C$ $\rightarrow$ $B$, 则 $A$ 与 $B$ 是互相的充要条件。
对于本题而言，直接把题目中所给的形式 $P(A|B)$ $>$ $P(A|\bar{B})$ 转换成选项中所给的形式，以及把选项中的形式转换成题目中所给的形式，可能难度比较大。这里我们可以考虑化简题目中所给的形式，之后再化简选项中所给的形式，由于化简过程中都是全程使用的等价符号，因此化简前的原式和化简后得到的形式是互为充要条件的，如果选项中的化简结果和题目中的化简结果一样，则可以说明它们之间存在互为充要条件的关系。
首先对题目中的原式进行化简，根据条件概率的公式，我们有：
$P(A|B)$ $>$ $P(A|\bar{B})$ $\Rightarrow$ $\frac{P(AB)}{P(B)}$ $>$ $\frac{P(A \bar{B})}{P(\bar{B})}$.
又因为：
$P(A \bar{B})$ $=$ $P[A(1-B)]$ $=$ $P(A-AB)$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(AAB)$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(AB)$.
所以有：
原式 $\Rightarrow$ $\frac{P(AB)}{P(B)}$ $>$ $\frac{P(A) – P(AB)}{1-P(B)}$ $\Rightarrow$ $P(AB)[1-P(B)]$ $>$ $P(B)[P(A)-P(AB)]$ $\Rightarrow$ $P(AB)$ $-$ $P(AB)P(B)$ $>$ $P(B)P(A)$ $-$ $P(B)P(AB)$ $\Rightarrow$ $P(AB)$ $>$ $P(A)P(B)$.
接下来，通过观察题目我们知道，$A$ 选项和 $B$ 选项的区别只是大于和小于符号，$C$ 选项和 $D$ 选项的区别也是如此。因此，我们只需要分别对 $A$ 选项和 $C$ 选项进行计算就可以确定哪个是正确选项了。
对 $A$ 选项进行化简：
$P(B|A)$ $>$ $P(B|\bar{A})$ $\Rightarrow$ $\frac{P(AB)}{P(A)}$ $>$ $\frac{P( \bar{A} B)}{P(\bar{A})}$.
又因为：
$P(\bar{A}B)$ $=$ $P[(1-A)B]$ $=$ $P(B-AB)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(ABB)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(AB)$.
所以有：
$\frac{P(AB)}{P(A)}$ $>$ $\frac{P(B) – P(AB)}{1-P(A)}$ $\Rightarrow$ $P(AB)[1-P(A)]$ $>$ $P(A)[P(B)$ $-$ $P(AB)]$ $\Rightarrow$ $P(AB)$ $-$ $P(AB)P(A)$ $>$ $P(A)P(B)$ $-$ $P(A)P(AB)$ $\Rightarrow$ $P(AB)$ $>$ $P(A)P(B)$.
由此，我们知道，$A$ 选项对，$B$ 选项错。
为了保险起见，我们可以在对 $C$ 选项做一个计算：
$P(\bar{B}|A)$ $>$ $P(B| \bar{A})$ $\Rightarrow$ $\frac{P(A \bar{B})}{P(A)}$ $>$ $\frac{P(\bar{A}B)}{P(\bar{A})}$ $\Rightarrow$ $P(A \bar{B})P(\bar{A})$ $>$ $P(\bar{A}B)P(A)$.
又因为：
$P(A \bar{B})$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(AB)$;
$P(\bar{A} B)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(AB)$.
所以有：
$[P(A)$ $-$ $P(AB)][1-P(A)]$ $>$ $[P(B)$ $-$ $P(AB)]P(A)$ $\Rightarrow$ $P(A)$ $-$ $P(A)P(A)$ $-$ $P(AB)$ $+$ $P(AB)P(A)$ $>$ $P(B)P(A)$ $-$ $P(AB)P(A)$ $\nRightarrow$ $P(AB)$ $>$ $P(A)P(B)$.
因此，可以知道，选项 $C$ 和 $D$ 都不正确。
综上可知，正确选项是：$A$.
EOF
