2010 年研究生入学考试数学一填空题第 6 题解析

题目

设随机变量 X 的概率分布为 P{X=k}=\frac{C}{k!},k=0,1,2,\dots., 则 E(X^{2})=__.

解析

根据题目中给出的分布函数(概率分布函数)的形式,我们可以知道,这是一个泊松分布。

泊松分布的公式如下:

P{X=k}=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!},(k=0,1,2,\dots).

于是我们有:

C=\lambda^{k}e^{-\lambda}.

由于在泊松分布中,D(X)=E(X)=\lambda.

而且我们知道 D(X)E(X) 有如下关系:

D(X)=E(X^2)-E^{2}(X) \Rightarrow E(X^{2})=D(X)+E^{2}(X)=\lambda+\lambda^{2}.

因此,只要我们求出 \lambda 的数值,也就是用 C 表示出 \lambda 就可以解出答案。

但是,这个思路是走不通的,一是因为通过 C=\lambda^{k}e^{-\lambda}C 表示出 \lambda 的计算十分复杂,其二是因为即便能够用 C 表达出 \lambda, 那么表达式中也会含有未知变量 k.

因此可知,这道题还需要找一些隐含的条件,走另外的解题思路。

既然从源头开始想出来的解题思路有问题,那么我们就倒着想,看看为了计算出最终的结果,我们需要哪些条件。我们可以确定的是,无论采取哪种方法,要想解出 E(X^{2}), 就必须知道 D(X)E^{2}(X), 因此(根据泊松分布的特性)我们需要知道 \lambda 的数值,而要知道 \lambda 的数值必然需要通过已知的常数 C 来确定,根据公式,C\lambda 同时出现的情况只在下面这个公式中存在:

\frac{C}{k!}=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}.

但是,上面这个公式中存在一个未知量 k.

至此,无论我们接下来采取什么解题思路,一个首要的问题就是要移除未知量 k 这个障碍。

如何移除呢?题目中并没有给出 k 的值,也没有可供解出 k 的关系式。不过,既然要解出 k 就先来想想 k 的含义吧。

在泊松分布的定义中,X 是随机变量,由泊松分布公式中的 “P{X=k}” 我们知道,k 就是用来给 X 赋值的,不同的 k 值对应不同的概率,而 k 的取值范围是 0,1,2,\dots n. 根据概率分布函数的特点我们知道,在一次随机实验中,一定会有一个随机变量发生,如果我们手里有全部的随机变量,那么在任何一次实验中都会有一个随机变量在我们手里发生,从整体上看这就是一个必然事件。

于是,我们知道,如果让 k 取到所有可能取到的值并计算概率,之后把这些概率相加,那么和一定是 1, 即:

\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{C}{k!}=C\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=1.

这里需要我们知道一个额外的知识点,就是自然常数(自然对数的底数) e 的表示方法。

e

有两种表示方法,如下:

方法一:e=\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}.

方法二:e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots\frac{1}{n!}.

注意:0!=1.

于是,我们有:

C\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=Ce=1 \Rightarrow C=\frac{1}{e}=e^{-1}.

又因为 C=\lambda^{k}e^{-\lambda}, 我们有:

\lambda^{k}e^{-\lambda}=e^{-1}.

于是有:

\lambda=1,k=1.

到这里就解出 \lambda 的数值了,再结合前面的分析,我们就可以解出 E(X^{2}):

E(X^2)=\lambda+\lambda^{2}=1+1^{2}=1+1=2.

综上可知,本题的正确答案是:2

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2012 年研究生入学考试数学一填空题第 6 题解析

题目

A,B,C 是随机事件,AC 互不相容,P(AB)=\frac{1}{2},P(C)=\frac{1}{3},P(AB|\bar{C})=__.

解析

AC 互不相容 \Rightarrow A \cap C = \phi \Rightarrow P(AC)=P(\phi)=P(\phi \cap B) \Rightarrow P(AC \cap B)=0.

于是,我们有:

P(AB|\bar{C})=\frac{P(AB \bar{C})}{P(\bar{C})}=\frac{P[AB(1-C)]}{1-P(C)}=\frac{P(AB-ABC)}{1-P(C)}=\frac{P(AB)-P(AB \cap ABC)}{1-P(C)}=\frac{P(AB)-P(ABC)}{1-P(C)}=\frac{\frac{1}{2}-0}{\frac{2}{3}}=\frac{1}{2} \times \frac{3}{2}=\frac{3}{4}.

综上可知,正确答案:\frac{3}{4}.

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2008 年研究生入学考试数学一选择题第 6 题解析

题目

设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布,则 P {X=E(X^{2})}=__.

解析

每年考研数学一试卷中填空题的最后一题基本都是考一个概率论中的知识。本题考察的知识很明确,就是:泊松分布。

泊松分布的概念如下:

设随机变量 X 的概率分布为:

P {X=k}=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!} (\lambda>0,k=0,1,2,3 \dots)

则称 X 服从参数为 \lambda 的泊松分布,记为 X \backsim P(\lambda).

此外,在泊松分布中,数学期望 E(X)=\lambda, 方差 D(X)=\lambda.

最后,我们还需要知道 E(X)D(X) 的关系公式:

D(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}.

由题目信息可知,该题中泊松分布的参数 \lambda=1, 于是我们知道:

E(X)=D(X)=1.

由于题目中要求的表达式中含有 “E(X^{2})“, 而在 E(X)D(X) 的关系式中也含有 “E(X^{2})“, 于是,我们有:

E(X^{2})=D(X)+[E(X)]^{2}.

进而有:

E(X^{2})=1+1^{2}=1+1=2.

于是,我们要求的表达式就变成了:

P{X=E(X^{2})} \Rightarrow P{X=2}.

至此,我们已经知道了泊松分布的计算公式中的两个未知量的数值,分别是:

\lambda=1,k=E(X^{2})=2.

于是,根据泊松分布的计算公式,我们有:

P=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}=\frac{1^{2}e^{-1}}{2!}=\frac{e^{-1}}{2 \times 1}=\frac{1}{e} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2e}.

综上可知,正确答案就是:\frac{1}{2e}

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阿波罗11号制导计算机中指令模块和登月模块原始代码已在 GitHub 上开源

维基百科上“阿波罗11号”词条下对阿波罗 11 号的介绍如下:

阿波罗11号(英语:Apollo 11)是美国国家航空航天局的阿波罗计划中的第五次载人任务,是人类第一次登月任务,歷時8天13小時18分35秒,繞行月球30周,在月表停留21小時36分20秒。三位执行此任务的宇航员分别为指令长尼尔·阿姆斯特朗、指令舱驾驶员迈克尔·科林斯与登月舱驾驶员巴兹·奥尔德林。1969年7月20日,阿姆斯特朗与奥尔德林成为了首次踏上月球的人类,而阿波羅11號登陸月球一事更進一步成為紀錄片和廣告常見之歷史事件。

阿波罗11号的成功实现了美国总统约翰·肯尼迪在1961年5月25日的演说中声称美国会在1970年以前“把一个宇航员送到月球上并把他安全带回来”的目标。

https://w.upupming.site/wiki/阿波罗11号

目前阿波罗11号制导计算机 (AGC) 中指令模块 (Comanche055) 和登月模块 (Luminary099) 的原始代码已经由虚拟 AGCMIT 科学博物馆 的伙计们完成电子化并在 GitHub 上开源,项目地址:

https://github.com/chrislgarry/Apollo-11

Apollo 11 mission patch (阿波罗 11 号任务徽章):

Figure 1. Credits: NASA, from: https://www.nasa.gov/mission_pages/apollo/missions/apollo11.html

装载着阿波罗 11 号的土星 5 号运载火箭 (拍摄于 1969 年 07 月 16 日):

Figure 2. 由NASA – The Project Apollo Image Gallery (image link),公有领域,https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=362467

阿波罗 11 号制导计算机 (AGC) 中指令模块 (Comanche055) 的其中一张原始代码扫描件:

Figure 3. from: http://www.ibiblio.org/apollo/ScansForConversion/Comanche055/0001.jpg

阿波罗 11 号制导计算机 (AGC) 中登月模块 (Luminary099) 的其中一张原始代码扫描件:

Figure 4. from: http://www.ibiblio.org/apollo/ScansForConversion/Luminary099/0002.jpg

今年 (2019 年) 是阿波罗登月成功 50 周年,在此,荒原之梦向勇于探索未知,敢于挑战高峰的科技先驱和宇航英雄们致敬!在征服宇宙的征途上,每一小步都是伟大的进步!

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一名白帽黑客因发现 Tesla Model 3 中软件的 XSS 漏洞而获得一万美元的奖励

Tesla Motors Logo:

图 1. from: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tesla_Motors.svg

这位白帽黑客名叫 Sam Curry. Curry 发现的这个跨站脚本攻击漏洞 (XSS) 可以被用来非授权地获取车辆信息,例如车辆的 VIN, 速度,温度,是否锁定,胎压,警报,时区等信息。Curry 在自己的 Tesla 汽车上利用 XSS Hunter 的攻击载荷对该漏洞进行了攻击,获取到了如下信息:

VIN: 5YJ3E13374KF2313373

Car Type: 3 P74D

Birthday: Mon Mar 11 16:31:37 2019

Car Version: develop-2019.20.1-203-991337d

Car Computer: ice

SOE / USOE: 48.9, 48.9 %

SOC: 54.2 %

Ideal energy remaining: 37.2 kWh

Range: 151.7 mi

Odometer: 4813.7 miles

Gear: D

Speed: 81 mph

Local Time: Wed Jun 19 15:09:06 2019

UTC Offset: -21600

Timezone: Mountain Daylight Time

BMS State: DRIVE

12V Battery Voltage: 13.881 V

12V Battery Current: 0.13 A

Locked?: true

UI Mode: comfort

Language: English

Service Alert: 0X0

https://samcurry.net/cracking-my-windshield-and-earning-10000-on-the-tesla-bug-bounty-program/

Tesla Model 3:

图 2. 由Carlquinn – 自己的作品,CC BY-SA 4.0,https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=65368295

Curry 随后把该漏洞报告给了 Tesla 的漏洞奖金程序,在大约 12 小时之后,Tesla 即推出了针对该漏洞的热更新。Tesla 认为这是一个严重漏洞,并在两周之后向 Curry 支付了 $10, 000 的漏洞奖金。

Track THIS: 伪装你在浏览器中的网络身份

Track THIS 是 Mozilla 和 mschf 工作室合作提供的一个工具。Track THIS 直接翻译过来就是 “追踪这个” 的意思。

我们知道,广告商会追踪 Web 浏览器用户的浏览行为,然后根据获取到的数据描绘用户画像,从而有针对性的投放广告。Track THIS 的目的就是通过打开 100 个特定类型的标签,混淆 Web 浏览器用户的浏览行为,从而隐藏用户的真实网络画像。

目前,Track THIS 提供了四种用户类型可供选择,分别是 HYPEBEAST (潮人)、FILTHY RICH (肮脏的有钱人)、DOOMSDAY (相信世界末日的人) 和 INFLUENCER (意见领袖)。如图 1:

图 1

HYPEBEAST

使用该模式将会使广告商认为你对街头服装 (streetwear), 专享鞋 (exclusive kicks) 和新潮音乐 (latest music) 感兴趣。很明显,当你在互联网上搜索最新的商品时,你就是文化的推动者 (clearly you’re a driver for culture as you scour the internet for the latest merch drop). 如图 2:

图 2

FILTHY RICH

在该模式下,除了喝酒少 (less booze) 并且拥有许多信用卡积分 (credit card points) 之外,广告商会认为你就是生活在邦德电影 (bond movie) 里的人物。你的生活里充满奢侈的品牌 (luxury brands), 豪华的轿车 (fancy cars) 和专属俱乐部 (exclusive clubs). 还有什么没有列举出来的事吗 (does anything else even matter?). 如图 3:

图 3

DOOMSDAY

在该模式下,广告商会认为你常常花时间去搜索补给品 (supplies), 评估掩体 (evaluating bunkers), 打印阴谋论 (printing out conspiracy theories), 然后用红线把它们钉在你家卧室的墙上。如图 4:

图 4

INFLUENCER

在该模式下,广告商会认为你会沉迷于 (obsess over) 护肤流程 (skincare routines), 全身疗法 (holistic remedies), 占星术 (astrology) 和冥想应用程序 (meditation apps), 然后把这些内容发布到你的 vlog 上来增加点赞和订阅。如图 5:

图 5

我没有对 Track THIS 混淆用户网络行为的效果做评估,Track THIS 的目的也不是阻止广告商投放广告。但是,在我看来,Track THIS 的确是一个保护 Web 浏览器的用户隐私,对抗无处不在的追踪的一个有趣尝试。

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