在涉及数列的题目中,一定要注意该数列有多少项:并不是所有的数列都是 n 项

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $a_{1}=1$, $a_{2}=2$, $3 a_{n+2}-4 a_{n+1}+a_{n}=0$, $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $n$.

则:$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}$ $=$ $?$

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两个相等的无穷小量的等价无穷小也相等

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $\cos x-1$ $=$ $x \sin \alpha(x)$, 其中 $|\alpha(x)|<\frac{\pi}{2}$, 则当 $x \rightarrow 0$ 时, $\alpha(x)$ 是 ( ).

A. 比 $x$ 高阶的无穷小

C. 与 $x$ 同阶但不等价的无穷小

B. 比 $x$ 低阶的无穷小

D. 与 $x$ 等价的无穷小

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连续函数的三点相等定律:连续点及连续点左右两侧的函数值相等

一、题目题目 - 荒原之梦

已知函数 $f(x)$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos \sqrt{x}}{a x}, & x>0, \\ b, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则 $a b = ?$

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这个包含无穷多项的数列可以转换为定积分进行计算吗?

一、题目题目 - 荒原之梦

已知:

$$
\begin{aligned}
I & = \\ \\
& \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^{2}}{n^{3}+n^{2}+n+1}+\frac{2^{2}}{n^{3}+n^{2}+n+2}+\cdots+\frac{n^{2}}{n^{3}+n^{2}+n+n}\right)
\end{aligned}
$$

则:

$$
I \ = \ ?
$$

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无穷多项的数列问题常常可以利用定积分的定义转化为定积分

一、题目题目 - 荒原之梦

已知:

$$
\begin{aligned}
I & = \\
& \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1+\sqrt{n^{2}-1^{2}}}{n^{2}}+\frac{2+\sqrt{n^{2}-2^{2}}}{n^{2}}+\cdots+\frac{n+\sqrt{n^{2}-n^{2}}}{n^{2}}\right)
\end{aligned}
$$

则:

$$
I \ = \ ?
$$

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