一、题目
已知:
$$
a_{n}=3 \int_{0}^{\frac{n+1}{n}} x^{2 n-1} \sqrt{1+x^{2 n}} \mathrm{~d} x
$$
则:
$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n a_{n} = ?
$$
难度评级:
继续阅读“当定积分遇上无穷大:先积分再计算无穷大”已知:
$$
a_{n}=3 \int_{0}^{\frac{n+1}{n}} x^{2 n-1} \sqrt{1+x^{2 n}} \mathrm{~d} x
$$
则:
$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n a_{n} = ?
$$
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继续阅读“当定积分遇上无穷大:先积分再计算无穷大”在进行定积分运算时,积分上下限是我们需要着重关注的一个问题——什么时候需要变?什么时候不需要变?在本文中,荒原之梦网(zhaokaifeng.com)将带你一探究竟!
继续阅读“定积分运算时的积分上下限:什么时候变?什么时候不变?”已知 $b>0$ 为常数, $\varphi(x)$ $=$ $\frac{2}{\sqrt{\pi b}} \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-\frac{t^{2}}{b}} \mathrm{~d} t$, 并且 $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ $=$ $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$, 则 $\int_{0}^{+\infty}[1-\varphi(x)] \mathrm{d} x = ?$
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继续阅读“当变限积分和无穷限反常积分在一起会碰撞出什么火花?”在本文中,荒原之梦网(zhaokaifeng.com)将以实用为目的,尽可能简洁的表述出考研数学中要求的四种微分中值定理(因此,可能会导致某些表述不够严谨)。
继续阅读“四大微分中值定理汇总:费罗拉西”已知 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛, $f(x)$ $=$ $\frac{1}{1+x^{2}}$ $-$ $\frac{\mathrm{e}^{-x}}{1+\mathrm{e}^{x}} \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$, 则 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x = ?$
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继续阅读“求解由无穷限反常积分式子确定的“隐积分””在考研数学真题和练习题中,我们经常会遇到对包含 $e^{x}$ 或 $e^{x}$ 变体的式子进行积分、凑微分、分部积分和求导等运算,由于 $e^{x}$ 的特殊性,这类题目往往需要一些经由日常积累才能快速运用的技巧——
荒原之梦网为此整理了和 $e^{x}$ 有关的常用解题思路,建议大家 收 藏 当前页面的链接,后续更新会第一时间发布在这里。
继续阅读“考研数学解题思路积累:和 $e^{x}$ 有关的那些式子”已知 $\delta>0$, 且在区间 $(-\delta, \delta)$ 内,有:
$$
\begin{cases}
& f^{\prime \prime}(x)>0; \\
& f(0)=0; \\
& f^{\prime}(0)=0
\end{cases}
$$
又有 $I=\int_{-\delta}^{\delta} f(x) \mathrm{d} x$.
则 $I$ 与 $0$ 的关系如何?
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继续阅读“通过一阶导和二阶导判断一重积分的大致取值范围”已知 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导, 且 $f(x)>0$.
若下面不等式成立:
$$
f(a)(b-a)<\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x<(b-a) \frac{f(a)+f(b)}{2}
$$
则 $f^{\prime}(x)$ 和 $f^{\prime \prime}(x)$ 分别需要满足什么条件?
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继续阅读“利用几何意义快速判断一重定积分的性质”已知函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续,在区间 $(0,1)$ 内可导,且 $f^{\prime}(x)<0$ 其中 $x \in(0,1)$, 则:
当 $0<x<1$ 时,$\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 与 $\int_{0}^{1} x f(t) \mathrm{d} t$ 之间的大小关系如何?
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继续阅读“被看成常数的变量在整个积分运算过程中都要按照常数处理:即便该变量的表示形式和真正的变量一致也不行”已知 $n$ 充分大时 $\left|a_{n}\right| \leq |b_{n}| \leq |c_{n}|$, 且 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} |c_{n}|$. 则以下选项,正确的是哪个?
(A) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\left|a_{n}\right|-b_{n}\right)=0$
(B) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left( |b_{n}| – c_{n}\right)=0$
(C) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left( |a_{n}| – c_{n}\right)=0$
(D) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left( |b_{n}| – a_{n}\right)=0$
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继续阅读“带绝对值的式子一定要考虑清楚正负”$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin (\sin x) \mathrm{d} x$, $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos (\cos x) \mathrm{d} x$ 和 $1$ 的大小关系如何?
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继续阅读“指定区间上的一个关键结论:sin x 小于 x,cos x 大于 x”已知:
$$
f(x)=\int_{0}^{x}\left(\mathrm{e}^{\cos t}-\mathrm{e}^{-\cos t}\right) \mathrm{d} t.
$$
则 $f(x)$ 和 $f(x+2 \pi)$ 之间是什么关系?
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继续阅读“一道没用上变限积分性质的变限积分题目:应用了积分上下限的加减运算、周期函数的定积分性质和三角函数的性质”$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left(\pi \sqrt{n^{2}+3 n}\right)=?
$$
难度评级:
继续阅读“计算极限问题时“抓大头”要慎重!”