定积分的估值定理(B007)

问题

若 $\textcolor{Orange}{m}$ $\textcolor{Orange}{\leqslant}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\leqslant}$ $\textcolor{Orange}{M}$, $x$ $\in$ $[a, b]$, 其中 $m$ 和 $M$ 均为常数,则以下关于定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中,正确的是哪个?

选项

[A].   $M(a-b)$ $\leqslant$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\leqslant$ $m(b-a)$

[B].   $m(b-a)$ $<$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $<$ $M(b-a)$

[C].   $m(b-a)$ $\geqslant$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\geqslant$ $M(b-a)$

[D].   $m(b-a)$ $\leqslant$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\leqslant$ $M(b-a)$


显示答案

$$\textcolor{Red}{m \times (b-a)}$$ $$\textcolor{Green}{\leqslant}$$ $$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}} f(x) \mathrm{d} x$$ $$\textcolor{Green}{\leqslant}$$ $$\textcolor{Red}{M \times (b-a)}$$

定积分比较定理的第二个推论(B007)

问题

以下关于定积分 $\textcolor{Orange}{\Big|}$ $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ $\textcolor{Orange}{\Big|}$ 的结论,正确的是哪个?

选项

[A].   $|$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $|$ $\leqslant$ $\int_{a}^{b}$ $| f(x) |$ $\mathrm{d} x$

[B].   $|$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $|$ $>$ $\int_{a}^{b}$ $| f(x) |$ $\mathrm{d} x$

[C].   $|$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $|$ $<$ $\int_{a}^{b}$ $| f(x) |$ $\mathrm{d} x$

[D].   $|$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $|$ $\geqslant$ $\int_{a}^{b}$ $| f(x) |$ $\mathrm{d} x$


显示答案

$$\textcolor{Red}{\Bigg|} \int_{a}^{b} \textcolor{Green}{f(x)} \mathrm{d} x \textcolor{Red}{\Bigg|}$$ $$\textcolor{Orange}{\leqslant}$$ $$\int_{a}^{b} \textcolor{Red}{|} \textcolor{Green}{f(x)} \textcolor{Red}{|} \mathrm{d} x$$


说明:
对于定积分而言,当 $f(x)$ $>$ $0$ 时,会使定积分的值变大,反之,当 $f(x)$ $<$ $0$ 时,会使定积分的值变小.
由于对定积分整体取绝对值并不能保证 $f(x)$ $\geqslant$ $0$, 而对函数 $f(x)$ 本身取绝对值则可以保证 $|f(x)|$ $\geqslant$ $0$, 于是有如上结论.

定积分比较定理的第一个推论(B007)

问题

若 $x$ $\in$ $[a, b]$, 且 $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\textcolor{Red}{\geqslant}$ $\textcolor{Red}{0}$, 则以下关于定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论,正确的是哪个?

选项

[A].   $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $0$

[B].   $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\leqslant$ $0$

[C].   $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\geqslant$ $0$

[D].   $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\neq$ $0$


显示答案

$$\textcolor{Orange}{f(x)} \textcolor{Red}{\geqslant} \textcolor{Orange}{0} \textcolor{Green}{\Rightarrow}$$ $$\int_{a}^{b} \textcolor{Orange}{f(x)} \mathrm{d} x \textcolor{Red}{\geqslant} \int_{a}^{b} \textcolor{Orange}{0} \mathrm{d} x \textcolor{Green}{\Rightarrow}$$ $$\int_{a}^{b} \textcolor{Orange}{f(x)} \mathrm{d} x \textcolor{Red}{\geqslant} \textcolor{Orange}{0}.$$


同理可知:
若 $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Red}{\leqslant}$ $\textcolor{Orange}{0}$, 则:$$\int_{a}^{b} \textcolor{Orange}{f(x)} \mathrm{d} x \textcolor{Red}{\leqslant} \textcolor{Orange}{0}.$$

定积分的比较定理(B007)

问题

若 $x$ $\in$ $[a, b]$, 且 $f(x)$ $\leqslant$ $g(x)$, 则根据定积分的比较定理,$\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 与 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{g(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 是什么关系?

选项

[A].   $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\geqslant$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[B].   $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $<$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[C].   $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\leqslant$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[D].   $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $>$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$


显示答案

$$\int_{\textcolor{Green}{a}}^{\textcolor{Green}{b}} \textcolor{Orange}{f(x)} \mathrm{d} x$$ $$\textcolor{Red}{\leqslant}$$ $$\int_{\textcolor{Green}{a}}^{\textcolor{Green}{b}} \textcolor{Orange}{g(x)} \mathrm{d} x$$ 定积分的比较定理:

在积分区间一样的情况下,不同定积分的相对大小取决于不同被积函数的相对大小.

定积分积分区间的可加性(B007)

问题

若常数 $\textcolor{Orange}{c}$ 是定积分的积分区间 $\textcolor{Orange}{[a, b]}$ 内部或者外部的一个常数,则定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ $=$ $?$

选项

[A].   $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\int_{b}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[B].   $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $-$ $\int_{c}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[C].   $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\int_{c}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $$

[D].   $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $-$ $\int_{b}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$


显示答案

$$\int_{\textcolor{Red}{a}}^{\textcolor{Red}{b}} f(x) \mathrm{d} x =$$ $$\int_{\textcolor{Red}{a}}^{\textcolor{Green}{c}} f(x) \mathrm{d} x + \int_{\textcolor{Green}{c}}^{\textcolor{Red}{b}} f(x) \mathrm{d} x.$$注意:常数 $c$ 不一定要在积分区间 $[a, b]$ 内部,常数 $c$ 也可以在积分区间 $[a, b]$ 外部.

含有常数 $k$ 的定积分的运算性质(B007)

问题

根据定积分的基本性质,若 $k$ 为常数,则 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Red}{k}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ $=$ $?$

选项

[A].   $\int_{a}^{b}$ $k$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[B].   $\int_{a}^{b}$ $k$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{k}$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[C].   $\int_{a}^{b}$ $k$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $-$ $k$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[D].   $\int_{a}^{b}$ $k$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $k$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$


显示答案

$$\int_{a}^{b} \textcolor{Red}{k} \textcolor{Green}{f(x)} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{k} \int_{a}^{b} \textcolor{Green}{f(x)} \mathrm{d} x$$

定积分的减法运算法则(B007)

问题

根据定积分的基本性质,$\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{[}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Red}{-}$ $\textcolor{Orange}{g(x)}$ $\textcolor{Orange}{]}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ $=$ $?$

选项

[A].   $\int_{a}^{b}$ $[$ $f(x)$ $-$ $g(x)$ $]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\times$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[B].   $\int_{a}^{b}$ $[$ $f(x)$ $-$ $g(x)$ $]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[C].   $\int_{a}^{b}$ $[$ $f(x)$ $-$ $g(x)$ $]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $-$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[D].   $\int_{a}^{b}$ $[$ $f(x)$ $-$ $g(x)$ $]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{b}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $-$ $\int_{b}^{a}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$


显示答案

$$\int_{\textcolor{Green}{a}}^{\textcolor{Green}{b}} [\textcolor{Orange}{f(x)} \textcolor{Red}{-} \textcolor{Orange}{g(x)}] \mathrm{d} x =$$ $$\int_{\textcolor{Green}{a}}^{\textcolor{Green}{b}} \textcolor{Orange}{f(x)} \mathrm{d} x \textcolor{Red}{-} \int_{\textcolor{Green}{a}}^{\textcolor{Green}{b}} \textcolor{Orange}{g(x)} \mathrm{d} x$$

定积分的加法运算法则(B007)

问题

根据定积分的基本性质,$\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{[}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{White}{+}$ $\textcolor{Orange}{g(x)}$ $\textcolor{Orange}{]}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ $=$ $?$

选项

[A].   $\int_{a}^{b}$ $[$ $f(x)$ $+$ $g(x)$ $]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $-$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[B].   $\int_{a}^{b}$ $[$ $f(x)$ $+$ $g(x)$ $]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[C].   $\int_{a}^{b}$ $[$ $f(x)$ $+$ $g(x)$ $]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{b}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\int_{b}^{a}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[D].   $\int_{a}^{b}$ $[$ $f(x)$ $+$ $g(x)$ $]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\times$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$


显示答案

$$\int_{\textcolor{Green}{a}}^{\textcolor{Green}{b}} [\textcolor{Orange}{f(x)} \textcolor{Red}{+} \textcolor{Orange}{g(x)}] \mathrm{d} x =$$ $$\int_{\textcolor{Green}{a}}^{\textcolor{Green}{b}} \textcolor{Orange}{f(x)} \mathrm{d} x \textcolor{Red}{+} \int_{\textcolor{Green}{a}}^{\textcolor{Green}{b}} \textcolor{Orange}{g(x)} \mathrm{d} x.$$

定积分的被积函数为 $1$ 怎么计算?(B007)

问题

根据定积分的基本性质,$\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Red}{1}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ $=$ $\textcolor{White}{?}$

选项

[A].   $\int_{a}^{b}$ $1$ $\mathrm{d} x$ $=$ $a$ $-$ $b$

[B].   $\int_{a}^{b}$ $1$ $\mathrm{d} x$ $=$ $b$ $+$ $a$

[C].   $\int_{a}^{b}$ $1$ $\mathrm{d} x$ $=$ $b$ $-$ $a$

[D].   $\int_{a}^{b}$ $1$ $\mathrm{d} x$ $=$ $a$ $+$ $b$


显示答案

$$\int_{\textcolor{Green}{a}}^{\textcolor{Green}{b}} \textcolor{Red}{1} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Green}{b – a}.$$

调换定积分的上下限对定积分的影响(B007)

问题

根据定积分的基本性质,若调换定积分 $\textcolor{Orange}{\int}_{\textcolor{White}{a}}^{\textcolor{White}{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的下限 $\textcolor{White}{a}$ 和上限 $\textcolor{White}{b}$, 则以下哪个选项是正确的?

选项

[A].   $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $0$

[B].   $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{b}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[C].   $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $-$ $\int_{b}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[D].   $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{b}^{a}$ $f(-x)$ $\mathrm{d} (-x)$


显示答案

$$\int_{\textcolor{Red}{a}}^{\textcolor{Red}{b}} f(x) \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Orange}{-} \int_{\textcolor{Red}{b}}^{\textcolor{Red}{a}} f(x) \mathrm{d} x$$

定积分与积分变量无关的原则(B007)

问题

根据定积分的基本性质,下列选项中,正确的是哪个?

选项

[A].   $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} t$

[B].   $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(t)$ $\mathrm{d} x$

[C].   $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(t)$ $\mathrm{d} t$

[D].   $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{b}^{a}$ $f(t)$ $\mathrm{d} t$


显示答案

$$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}} f(\textcolor{Red}{x}) \mathrm{d} \textcolor{Red}{x} =$$ $$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}} f(\textcolor{Red}{t}) \mathrm{d} \textcolor{Red}{t}$$由于定积分本质上是一个值,因此,定积分与积分变量的选取无关.

函数可积与有界之间的关系(B007)

问题

下面关于函数[可积]与[有界]之间关系的描述,正确的是哪个?

选项

[A].   函数若可积则可能有界

[B].   函数若可积则必有界

[C].   函数若可积则一定无界

[D].   函数可积与有界之间没有关系


显示答案

函数可积与有界之间的关系

简洁版:
如果一个函数在某区间上可积,则该函数在该区间上必有界.
(是否可积的最终判断依据就是看积分区间与被积函数之间围成的区域的面积是否可以准确计算出来.)

标准版:
设函数 $\textcolor{Red}{f(x)}$ 在区间 $\textcolor{Red}{I}$ 上[可积],则函数 $\textcolor{Red}{f(x)}$ 在区间 $\textcolor{Red}{I}$ 上必[有界].

函数可积有界必要条件.

函数有界、有间断点与可积之间的关系(B007)

问题

下面关于函数[有界]、[有间断点]与[可积]之间关系的描述,正确的是哪个?

选项

[A].   只要有间断点一定不可积

[B].   在有界区间上有无数个间断点的函数必可积

[C].   在有界区间上有间断点的函数必可积

[D].   在有界区间上只有有限个间断点的函数必可积


显示答案

函数有界、有间断点与可积之间的关系

简洁版:
在有界区间上只有有限个间断点的函数必可积.
(是否可积的最终判断依据就是看积分区间与被积函数之间围成的区域的面积是否可以准确计算出来.)

标准版:
设函数 $\textcolor{Red}{f(x)}$ 在闭区间 $\textcolor{Red}{[a, b]}$ 上[有界],且只有有限个[间断点],则函数 $\textcolor{Red}{f(x)}$ 在闭区间 $\textcolor{Red}{[a, b]}$ 上[可积].

函数连续与可积之间的关系(B007)

问题

下面关于函数的[连续]与[可积]之间关系的描述,正确的是哪个?

选项

[A].   闭区间上连续必可积

[B].   开区间上连续必可积

[C].   闭区间上连续一定不可积

[D].   闭区间上连续不一定可积


显示答案

函数连续与可积之间的关系

简洁版:
闭区间上连续必可积.
(是否可积的最终判断依据就是看积分区间与被积函数之间围成的区域的面积是否可以准确计算出来.)

标准版:
设函数 $\textcolor{Red}{f(x)}$ 在闭区间 $\textcolor{Red}{[a, b]}$ 上[连续],则函数 $\textcolor{Red}{f(x)}$ 在闭区间 $\textcolor{Red}{[a, b]}$ 上[可积].

被积函数 $\sqrt{x^{2} – a^{2}}$ 的三角代换方法(B006)

问题

若通过三角代换计算积分 [$\textcolor{Orange}{\int \sqrt{x^{2} – a^{2}} \mathrm{d} x}$], 则应令 $\textcolor{Red}{x}$ $=$ $?$

选项

[A].   $x$ $=$ $- a \sec t$

[B].   $x$ $=$ $\sec t$

[C].   $x$ $=$ $a \sec t$

[D].   $x$ $=$ $a \csc t$


显示答案

$$\int \textcolor{Red}{\sqrt{x^{2} – a^{2}}} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{x}$$ $$\textcolor{Green}{\xrightarrow[]{x = a \times \sec t}}$$ $$\int \textcolor{Red}{\sqrt{(a \sec t)^{2} – a^{2}}} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{(a \sec t)} =$$ $$\int \textcolor{Red}{\sqrt{(a^{2} \sec ^{2} t – a^{2})} \cdot a \sec t \tan t} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t} =$$ $$\int \textcolor{Red}{\sqrt{a^{2} (\sec ^{2} t – 1)} \cdot a \sec t \tan t} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t} =$$ $$\int \textcolor{Red}{a \sqrt{\sec ^{2} t – 1} \cdot a \sec t \tan t} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t} =$$ $$\int \textcolor{Red}{a \sqrt{\tan ^{2} t} \cdot a \sec t \tan t} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t} =$$ $$\int \textcolor{Red}{a \tan t \cdot a \sec t \tan t} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t} =$$ $$\int \textcolor{Red}{a ^{2} \tan ^{2} t \cdot \sec t} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t} =$$ $$\textcolor{Orange}{a ^{2}} \int \textcolor{Red}{\tan ^{2} t \cdot \sec t} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t}.$$