荒原之梦

一、题目

已知：

$$
a_{n}=3 \int_{0}^{\frac{n+1}{n}} x^{2 n-1} \sqrt{1+x^{2 n}} \mathrm{~d} x
$$

则：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n a_{n} = ?
$$

难度评级：

继续阅读“当定积分遇上无穷大：先积分再计算无穷大”

一、题目

曲线 $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ $=$ $\sqrt{2}$ 与坐标轴所围成图形的面积是多少？

难度评级：

继续阅读“一个看上去很难的积分题：某些隐函数其实是“假”的”

一、前言

在进行定积分运算时，积分上下限是我们需要着重关注的一个问题——什么时候需要变？什么时候不需要变？在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）将带你一探究竟！

继续阅读“定积分运算时的积分上下限：什么时候变？什么时候不变？”

一、前言

本文通过一个具体的例子，解析了如何将直角坐标系下的一般方程转为参数方程——有些时候，通过参数方程进行计算更有利。

继续阅读“直角坐标系下一般方程转参数方程的通用方法”

一、题目

已知 $b>0$ 为常数, $\varphi(x)$ $=$ $\frac{2}{\sqrt{\pi b}} \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-\frac{t^{2}}{b}} \mathrm{~d} t$, 并且 $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ $=$ $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$, 则 $\int_{0}^{+\infty}[1-\varphi(x)] \mathrm{d} x = ?$

难度评级：

继续阅读“当变限积分和无穷限反常积分在一起会碰撞出什么火花？”

一、前言

在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）将以实用为目的，尽可能简洁的表述出考研数学中要求的四种微分中值定理（因此，可能会导致某些表述不够严谨）。

继续阅读“四大微分中值定理汇总：费罗拉西”

一、题目

已知 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛, $f(x)$ $=$ $\frac{1}{1+x^{2}}$ $-$ $\frac{\mathrm{e}^{-x}}{1+\mathrm{e}^{x}} \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$, 则 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x = ?$

难度评级：

继续阅读“求解由无穷限反常积分式子确定的“隐积分””

一、前言

在考研数学真题和练习题中，我们经常会遇到对包含 $e^{x}$ 或 $e^{x}$ 变体的式子进行积分、凑微分、分部积分和求导等运算，由于 $e^{x}$ 的特殊性，这类题目往往需要一些经由日常积累才能快速运用的技巧——

荒原之梦网为此整理了和 $e^{x}$ 有关的常用解题思路，建议大家 收 藏 当前页面的链接，后续更新会第一时间发布在这里。

继续阅读“考研数学解题思路积累：和 $e^{x}$ 有关的那些式子”

一、题目

已知 $\delta>0$, 且在区间 $(-\delta, \delta)$ 内，有：

$$
\begin{cases}
& f^{\prime \prime}(x)>0; \\
& f(0)=0; \\
& f^{\prime}(0)=0
\end{cases}
$$

又有 $I=\int_{-\delta}^{\delta} f(x) \mathrm{d} x$.

则 $I$ 与 $0$ 的关系如何？

难度评级：

继续阅读“通过一阶导和二阶导判断一重积分的大致取值范围”

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导, 且 $f(x)>0$.

若下面不等式成立：

$$
f(a)(b-a)<\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x<(b-a) \frac{f(a)+f(b)}{2}
$$

则 $f^{\prime}(x)$ 和 $f^{\prime \prime}(x)$ 分别需要满足什么条件？

难度评级：

继续阅读“利用几何意义快速判断一重定积分的性质”

一、题目

已知函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，在区间 $(0,1)$ 内可导，且 $f^{\prime}(x)<0$ 其中 $x \in(0,1)$, 则：

当 $0<x<1$ 时，$\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 与 $\int_{0}^{1} x f(t) \mathrm{d} t$ 之间的大小关系如何？

难度评级：

继续阅读“被看成常数的变量在整个积分运算过程中都要按照常数处理：即便该变量的表示形式和真正的变量一致也不行”

一、题目

已知 $n$ 充分大时 $\left|a_{n}\right| \leq |b_{n}| \leq |c_{n}|$, 且 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} |c_{n}|$. 则以下选项，正确的是哪个？

(A) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\left|a_{n}\right|-b_{n}\right)=0$

(B) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left( |b_{n}| – c_{n}\right)=0$

(C) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left( |a_{n}| – c_{n}\right)=0$

(D) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left( |b_{n}| – a_{n}\right)=0$

难度评级：

继续阅读“带绝对值的式子一定要考虑清楚正负”

一、题目

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin (\sin x) \mathrm{d} x$, $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos (\cos x) \mathrm{d} x$ 和 $1$ 的大小关系如何？

难度评级：

继续阅读“指定区间上的一个关键结论：sin x 小于 x，cos x 大于 x”

一、题目

已知：

$$
f(x)=\int_{0}^{x}\left(\mathrm{e}^{\cos t}-\mathrm{e}^{-\cos t}\right) \mathrm{d} t.
$$

则 $f(x)$ 和 $f(x+2 \pi)$ 之间是什么关系？

难度评级：

继续阅读“一道没用上变限积分性质的变限积分题目：应用了积分上下限的加减运算、周期函数的定积分性质和三角函数的性质”

一、题目

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left(\pi \sqrt{n^{2}+3 n}\right)=?
$$

难度评级：

继续阅读“计算极限问题时“抓大头”要慎重！”