1992 年考研数二真题解析

前言

在本文中,荒原之梦网从考试实战的角度出发,详细解析了考研数学二【1992】年的真题。

注意事项:
1. 按照原试卷结构,每页一类题,点击页码可以切换;
2. 蓝色部分为题干;
3. 典型题目用红色标注。

一、填空题 (本题满分 15 分, 每小题 3 分)

(1) 设 $\left\{\begin{array}{l}x=f(t)-\pi, \\ y=f\left(\mathrm{e}^{3 t}-1\right),\end{array}\right.$, 其中 $f$ 可导, 且 $f^{\prime}(0) \neq 0$, 则 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{t=0}=$

$$
\frac{\mathrm{~ d} y}{\mathrm{~ d} t}=f^{\prime}\left(e^{3 t}-1\right) \cdot 3 e^{3 t}
$$

$$
\frac{\mathrm{~ d} x}{\mathrm{~ d} t}=f^{\prime}(t)
$$

于是:

$$
\frac{\mathrm{~ d} y}{\mathrm{~ d} x}=\frac{f^{\prime}\left(e^{3 t}-1\right) \cdot 3 e^{3 t}}{f^{\prime}(t)} \Rightarrow
$$

$$
t=0 \Rightarrow \frac{f^{\prime}(0) \cdot 3}{f^{\prime}(0)}=3
$$

(2) 函数 $y=x+2 \cos x$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值为

$$
y^{\prime}=1-2 \sin x \Rightarrow y^{\prime}=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}
$$

$$
y^{\prime \prime}=-2 \cos x \Rightarrow x=\frac{\pi}{6} \Rightarrow y^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{6}\right)<0
$$

所以,最大值为:

$$
y\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\pi}{6}+\sqrt{3}
$$

(3) $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1-\sqrt{1-x^{2}}}{\mathrm{e}^{x}-\cos x}=$

由于:

$$
(1+x)^{b}-1 \sim b x
$$

于是:

$$
1-\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=-\left[\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}-1\right] \sim \frac{1}{2} x^{2}
$$

因此:

$$
\frac{1-\sqrt{1-x^{2}}}{e^{x}-\cos x}=\frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{x}-\cos x} \Rightarrow
$$

洛必达运算:

$$
\frac{x}{e^{x}+\sin x}=\frac{0}{1}=0
$$

(4) $\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x\left(x^{2}+1\right)}=$

先配方:

$$
\frac{1}{x\left(x^{2}+1\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B x}{x^{2}+1}=\frac{A\left(x^{2}+1\right)+B x^{2}}{x\left(x^{2}+1\right)} \Rightarrow
$$

$$
A=1, B=-1 \Rightarrow
$$

于是:

$$
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x\left(x^{2}+1\right)} \mathrm{~ d} x=\int_{1}^{+\infty}\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{x^{2}+1}\right) \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
\ln x-\left.\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+1\right)\right|_{1} ^{+\infty}=
$$

$$
\left.\ln \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\right|_{1} ^{+\infty}=\ln 1-\ln \frac{1}{\sqrt{2}}=
$$

$$
\ln 1-\ln 1+\ln \sqrt{2}=\frac{1}{2} \ln 2
$$

(5) 由曲线 $y=x \mathrm{e}^{x}$ 与直线 $y=\mathrm{e} x$ 所围成图形的面积 $S=$

在本题中,需要注意书写,不要把 $e^{x}$ 和 $ex$ 混淆。

首先:

$$
x e^{x}=e x \Rightarrow x=0, x=1
$$

又(这一步的目的在于要判断清楚 $xe^{x}$ 和 $ex$ 在区间 $(0, 1)$ 上的大小问题):

$$
x=\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} \sqrt{e}<\frac{1}{2} e \Rightarrow e x > x e^{x} \Rightarrow
$$

于是:

$$
S=\int_{0}^{1}\left(e x-x e^{x}\right) \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
S=e \int_{0}^{1} x \mathrm{~ d} x-\int_{0}^{1} x \mathrm{~ d} \left(e^{x}\right) \Rightarrow
$$

$$
S=\frac{1}{2} e-\left[\left.x e^{x}\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} e^{x} \mathrm{~ d} x\right] \Rightarrow
$$

$$
S=\frac{1}{2} e-[e-(e-1)]=\frac{e}{2}-1
$$