考研数学解题思路积累:和 $e^{x}$ 有关的那些式子

一、前言 前言 - 荒原之梦

在考研数学真题和练习题中,我们经常会遇到对包含 $e^{x}$ 或 $e^{x}$ 变体的式子进行积分、凑微分、分部积分和求导等运算,由于 $e^{x}$ 的特殊性,这类题目往往需要一些经由日常积累才能快速运用的技巧——

荒原之梦网为此整理了和 $e^{x}$ 有关的常用解题思路,建议大家 当前页面的链接,后续更新会第一时间发布在这里。

最近更新时间:2023年9月12日、2023 年 09 月 02 日2023 年 08 月 05 日2023 年 07 月 14 日

二、正文 正文 - 荒原之梦

特征总结:

  • 一般情况下,如果出现关于 $e^{x}$ 的分式,则会和 $e^{-x}$ 有关;
  • 一般情况下,如果出现 $1 + e^{x}$ 的类似形式,则会和 $\ln$ 有关。

关于 $e$ 的反常积分,可以参考《常用的反常积分结论之 e 积分

01

$$
\int \frac{1}{e^{x}} d x=-e^{-x}+C
$$

$$
\Leftrightarrow
$$

$$
\left(-e^{-x}\right)_{x}^{\prime}=(-1) e^{-x} \cdot(-1)=e^{-x}=\frac{1}{e^{x}}.
$$

02

$$
\int \frac{1}{e^{x}+1} \mathrm{~d} x =-\ln \left(1+e^{-x}\right)+C
$$

$$
\Leftrightarrow
$$

$$
{\left[-\ln \left(1+e^{-x}\right)\right]_{x}^{\prime}=-\frac{-e^{-x}}{1+e^{-x}}=}
$$

$$
\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}=\frac{\frac{1}{e^{x}}}{\frac{e^{x}+1}{e^{x}}} \Rightarrow \frac{1}{e^{x}} \cdot \frac{e^{x}}{e^{x}+1}=\frac{1}{e^{x}+1}.
$$

03

$$
\int \frac{1}{1 + e^{-x}} \mathrm{~d} x = \int \frac{e^{x}}{1+e^{x}} \mathrm{~d} x = \ln (1+e^{x}) + C.
$$

同时可知,积分 $\int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{1 + e^{-x}} \mathrm{~d} x$ 是发散的,因为:

$$
\ln (1+e^{x}) \Big|_{0}^{+\infty} = + \infty – 0 = + \infty.
$$

04

$$
\frac{e^{-x}}{1+e^{x}}=\frac{\frac{1}{e^{x}}}{1+e^{x}}=\frac{1}{e^{x}\left(1+e^{x}\right)}=\frac{1}{e^{x}}-\frac{1}{1+e^{x}}.
$$

05

$$
\int x e^{x} \mathrm{~ d} x = x e^{x} – e^{x} + C
$$

$$
\Leftrightarrow
$$

$$
[x e^{x} – e^{x}]^{\prime}_{x} = e^{x} + x e^{x} – e^x = xe^{x}
$$

06

$$
\frac{e^{x}}{(e^{x} + 1)^{2}} = – \mathrm{d} \Big(\frac{1}{e^{x} + 1} \Big)
$$

07

$$
\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^{2}} = \frac{\frac{1}{e^{x}}}{(1+\frac{1}{e^{x}})^{2}} = \frac{1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x})^{2}}{(e^{x} + 1)^{2}} = \frac{e^{x}}{(e^{x} + 1)^{2}}.
$$

08

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{e^{x} + 1} = \frac{0}{1+1} = \frac{0}{2} = 0.
$$

09

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{x}{e^{x} + 1} \Rightarrow \frac{\infty}{\infty} \Rightarrow
$$

洛必达运算:

$$
\lim_{x + \infty} \frac{1}{e^{x}} = \frac{1}{+\infty} = 0.
$$

10

泊松积分公式:

$$
\int_{- \infty}^{+\infty} e^{-x^{2}} \mathrm{~ d} x = \sqrt{\pi}
$$

$$
\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \mathrm{~ d} x = \frac{\sqrt{\pi}}{2}
$$

Tips:

$e^{-x^{2}}$ 本身是不存在原函数的,上述结论记住即可。

11

当 $a < 0$ 时:

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} e^{a x}=0
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x e^{a x}=0
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} e^{a x} \cos \beta x=0
$$

12

在涉及三角函数的时候,可能会产生“回环”,因此需要使用两次分部积分:

$$
I = -\int \sin x e^{-x} \mathrm{~ d} x =
$$

使用分部积分:

$$
\int \sin x \mathrm{~ d} \left(e^{-x}\right)=
$$

$$
e^{-x} \sin x-\int e^{-x} \cos x \mathrm{~ d} x=
$$

$$
e^{-x} \sin x+\left[\cos x \mathrm{~ d} \left(e^{-x}\right)\right] =
$$

再次使用分部积分:

$$
e^{-x} \sin x+\left[e^{-x} \cos x+\int e^{-x} \sin x \mathrm{~ d} x\right]=I \Rightarrow
$$

$$
e^{-x} \sin x+e^{-x} \cos x+\int e^{-x} \sin x \mathrm{~ d} x=I \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orangered}{
e^{-x} \sin x + e^{-x} \cos x+ (-I) = I } \Rightarrow
$$

$$
e^{-x} \sin x+e^{-x} \cos x=+2 I \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{+1}{2} e^{-x}(\sin x+\cos x)
$$

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