# 考研数学解题思路积累：和 $e^{x}$ 有关的那些式子

## 二、正文

### 01

$$\int \frac{1}{e^{x}} d x=-e^{-x}+C$$

$$\Leftrightarrow$$

$$\left(-e^{-x}\right)_{x}^{\prime}=(-1) e^{-x} \cdot(-1)=e^{-x}=\frac{1}{e^{x}}.$$

### 02

$$\int \frac{1}{e^{x}+1} \mathrm{~d} x =-\ln \left(1+e^{-x}\right)+C$$

$$\Leftrightarrow$$

$${\left[-\ln \left(1+e^{-x}\right)\right]_{x}^{\prime}=-\frac{-e^{-x}}{1+e^{-x}}=}$$

$$\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}=\frac{\frac{1}{e^{x}}}{\frac{e^{x}+1}{e^{x}}} \Rightarrow \frac{1}{e^{x}} \cdot \frac{e^{x}}{e^{x}+1}=\frac{1}{e^{x}+1}.$$

### 03

$$\int \frac{1}{1 + e^{-x}} \mathrm{~d} x = \int \frac{e^{x}}{1+e^{x}} \mathrm{~d} x = \ln (1+e^{x}) + C.$$

$$\ln (1+e^{x}) \Big|_{0}^{+\infty} = + \infty – 0 = + \infty.$$

### 04

$$\frac{e^{-x}}{1+e^{x}}=\frac{\frac{1}{e^{x}}}{1+e^{x}}=\frac{1}{e^{x}\left(1+e^{x}\right)}=\frac{1}{e^{x}}-\frac{1}{1+e^{x}}.$$

### 05

\begin{aligned} & \int x e^{x} \mathrm{~ d} x = x e^{\textcolor{springgreen}{x}} \textcolor{orangered}{-} e^{\textcolor{springgreen}{x}} + C \\ & \Leftrightarrow \\ & [x e^{x} – e^{x}]^{\prime}_{x} = e^{x} + x e^{x} – e^x = xe^{x} \end{aligned}

$$\int xe^{-x} \mathrm{~d} x = \textcolor{orangered}{-} xe^{\textcolor{springgreen}{-x}} \textcolor{orangered}{-} e^{\textcolor{springgreen}{-x}} + C$$

### 06

$$\frac{e^{x}}{(e^{x} + 1)^{2}} = – \mathrm{d} \Big(\frac{1}{e^{x} + 1} \Big)$$

### 07

$$\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^{2}} = \frac{\frac{1}{e^{x}}}{(1+\frac{1}{e^{x}})^{2}} = \frac{1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x})^{2}}{(e^{x} + 1)^{2}} = \frac{e^{x}}{(e^{x} + 1)^{2}}.$$

### 08

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{e^{x} + 1} = \frac{0}{1+1} = \frac{0}{2} = 0.$$

### 09

$$\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{x}{e^{x} + 1} \Rightarrow \frac{\infty}{\infty} \Rightarrow$$

$$\lim_{x + \infty} \frac{1}{e^{x}} = \frac{1}{+\infty} = 0.$$

### 10

$$\int_{- \infty}^{+\infty} e^{-x^{2}} \mathrm{~ d} x = \sqrt{\pi}$$

$$\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \mathrm{~ d} x = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$$

Tips:

$e^{-x^{2}}$ 本身是不存在原函数的，上述结论记住即可。

### 11

$$\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} e^{a x}=0$$

$$\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x e^{a x}=0$$

$$\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} e^{a x} \cos \beta x=0$$

### 12

$$I = -\int \sin x e^{-x} \mathrm{~ d} x =$$

$$\int \sin x \mathrm{~ d} \left(e^{-x}\right)=$$

$$e^{-x} \sin x-\int e^{-x} \cos x \mathrm{~ d} x=$$

$$e^{-x} \sin x+\left[\cos x \mathrm{~ d} \left(e^{-x}\right)\right] =$$

$$e^{-x} \sin x+\left[e^{-x} \cos x+\int e^{-x} \sin x \mathrm{~ d} x\right]=I \Rightarrow$$

$$e^{-x} \sin x+e^{-x} \cos x+\int e^{-x} \sin x \mathrm{~ d} x=I \Rightarrow$$

$$\textcolor{orangered}{ e^{-x} \sin x + e^{-x} \cos x+ (-I) = I } \Rightarrow$$

$$e^{-x} \sin x+e^{-x} \cos x=+2 I \Rightarrow$$

$$I=\frac{+1}{2} e^{-x}(\sin x+\cos x)$$

## 相关例题

2024 年 04 月 14 日 第 05 次更新
2023 年 09 月 12 日 第 04 次更新
2023 年 09 月 02 日 第 03 次更新
2023 年 08 月 05 日 第 02 次更新
2023 年 07 月 14 日 第 01 次更新