1991 年考研数二真题解析

前言

在本文中,荒原之梦网从考试实战的角度出发,详细解析了考研数学二【1991】年的真题。

注意事项:
1. 按照原试卷结构,每页一类题,点击页码可以切换;
2. 蓝色部分为题干。

一、填空题 (本题满分 15 分, 每小题 3 分)

(1) 设 $y=\ln \left(1+3^{-x}\right)$, 则 $\mathrm{d} y=$

$$
\frac{\mathrm{~ d} y}{\mathrm{~ d} x}=\frac{-\ln 3 \cdot 3^{-x}}{1+3^{-x}} \mathrm{~ d} x=\frac{-\ln 3}{3^{x}+1} \mathrm{~ d} x
$$

注意:$\left(e^{x}\right)^{\prime}$ $=$ $\ln e \cdot e^{x}$

(2) 曲线 $y=\mathrm{e}^{-x^{2}}$ 的上凸区间是

$$
y=e^{-x^{2}} \Rightarrow y^{\prime}=-2 x e^{-x^{2}} \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime \prime}=-2\left(e^{-x^{2}}-2 x^{2} e^{-x^{2}}\right) \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime \prime}<0 \Rightarrow e^{-x^{2}}\left(1-2 x^{2}\right)>0 \Rightarrow
$$

$$
1-2 x^{2}>0 \Rightarrow 1>2 x^{2} \Rightarrow x^{2}<\frac{1}{2} \Rightarrow
$$

$$
x \in\left(\frac{-\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)
$$

(3) $\int_{1}^{+\infty} \frac{\ln x}{x^{2}} \mathrm{~d} x=$

$$
\int_{1}^{+\infty} \frac{\ln x}{x^{2}} \mathrm{~ d} x=-\int_{1}^{+\infty} \ln x \mathrm{~ d} \left(\frac{1}{x}\right)=$$

$$
-\left[\left.\frac{\ln x}{x}\right|_{1} ^{+\infty}-\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} \mathrm{~ d} x\right]=
$$

$$
-\left[\left.\frac{\ln x}{x}\right|_{1} ^{+\infty}+\left.\frac{1}{x}\right|_{1} ^{+\infty}\right]=1
$$

(4) 质点以 $t \sin t^{2}$ 米/秒做直线运动, 则从时刻 $t_{1}=\sqrt{\frac{\pi}{2}}$ 秒到 $t_{2}=\sqrt{\pi}$ 秒内质点所经过的路程等于()米.

$$
\int_{t_{1}}^{t_{2}} t \sin t^{2} \mathrm{~ d} t=\frac{1}{2} \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sin t^{2} \mathrm{~ d} \left(t^{2}\right) \Rightarrow
$$

$$
u=t^{2} \Rightarrow \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin u \mathrm{~ d} u=\left.\frac{-1}{2} \cos u\right|_{\frac{\pi}{2}} ^{\pi}=
$$

$$
\frac{-1}{2}(-1-0)=\frac{1}{2}
$$

(5) $\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1-\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{x+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}=$

错误的解法($x \rightarrow 0^{+}$):

$$
\frac{1-e^{\frac{1}{x}}}{x+e^{\frac{1}{x}}}=\frac{1-1}{0+1}=\frac{0}{1}=0
$$

错误的原因:若将加减运算中的无穷小量直接写为 $0$ 后发现结果【等于零】,则就【不能】将这些无穷小量直接写为 $0$.

正确解法(若将加减运算中的无穷小量直接写为 $0$ 后发现结果【不等于零】,则就【可以】将这些无穷小量直接写为 $0$):

$$
\frac{1-e^{\frac{1}{x}}}{x+e^{\frac{1}{x}}}=\frac{e^{\frac{1}{x}}\left(\frac{1}{e^{\frac{1}{x}}}-1\right)}{e^{\frac{1}{x}}\left(\frac{x}{e^{\frac{1}{x}}}+1\right)}=\frac{0-1}{0+1}=-1
$$

注意:$\left(\frac{x}{e^{\frac{1}{x}}}\right)^{\prime}$ $=$ $\frac{1}{\frac{-1}{x^{2}} e^{\frac{1}{x}}}=\frac{x^{2}}{-1}=0$