用逐步简化的方法记忆泰勒公式(泰勒定理)

一、问题描述 问题描述 - 荒原之梦

泰勒公式在极限运算、无穷小代换等方面的解题过程中都有着重要的作用,但对泰勒公式的记忆有时候却很麻烦——在本文中,荒原之梦网为大家提供一种通过“逐步简化”的方法来记忆泰勒公式的步骤,以加强我们对于泰勒公式的掌握。

二、解决方案 解决方案 - 荒原之梦

函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处展开的完整版的泰勒公式如下:

$f(x)$ $=$ $f(x_{0})$ $+$ $f^{\prime}(x_{0})$ $\cdot$ $(x – x_{0})$ $+$ $\frac{f^{\prime \prime}(x_{0})}{2 !}$ $\cdot$ $(x – x_{0})^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n !}$ $\cdot$ $(x – x_{0})^{n}$ $+$ $R_{n}(x)$

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于是有:

$$
f(x) = \sum_{0}^{n} \Bigg[ \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!} \cdot (x – x_{0})^{n} \Bigg]
$$

换成文字方式描述,则有:

$$
f(x) = \sum_{0}^{n} \Bigg[ \frac{f(x_{0}) 的 n 阶导}{n 的阶乘} \times (x – x_{0}) 的 n 次方 \Bigg]
$$

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特别的,当 $x_{0}$ $=$ $0$ 时,泰勒公式就变成了:

$$
f(x) = \sum_{0}^{n} \Bigg[ \frac{f(x_{0}) 的 n 阶导}{n 的阶乘} \times x 的 n 次方 \Bigg]
$$

$x$ $=$ $0$ 时的泰勒公式也是考研数学和一般情况下的考试中最经常遇到的。

继续简化(当 $x_{0}$ $=$ $0$ 时):

$$
f(x) = \sum_{0}^{n} \Bigg[ \frac{n 阶导}{n 阶乘} \times x 的 n 次方 \Bigg]
$$

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换成文字方式描述,则有(当 $x_{0}$ $=$ $0$ 时):

$$
f(x) 等于 \textcolor{red}{\Rightarrow} \frac{\textcolor{orange}{n 阶导}}{\textcolor{cyan}{n 阶乘}} \times \textcolor{white}{x 的 n 次方}
$$

其中,$\textcolor{tan}{n}$ 是从 $\textcolor{red}{0}$ 开始计算并求和的。

Tips Tips - 荒原之梦

  • $0$ 的阶乘等于 $1$: $\textcolor{orange}{0!}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{1}$
  • $1$ 的阶乘等于 $1$: $\textcolor{orange}{1!}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{1}$
  • 一个常数或者在常数范围内取值的变量的零次方等于 $1$: $\textcolor{orange}{(x – x_{0})^{0}}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{1}$
  • 函数的 $0$ 次导就相当于不进行求导运算,因此:$\textcolor{orange}{f^{(0)}(x_{0})}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{f(x_{0})}$

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