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分类： 考研数学
峰式 | 用数字和排列组合探究逆矩阵乘法运算的特性
一、题目
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为三阶矩阵，且 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} = 3$, $\begin{vmatrix} \boldsymbol{B} \end{vmatrix} = 2$, $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A}^{-1} + \boldsymbol{B} \end{vmatrix} = 2$, 则 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}^{-1} \end{vmatrix} = ?$
难度评级：
继续阅读“峰式 | 用数字和排列组合探究逆矩阵乘法运算的特性”2022考研数二第05题解析：反常积分敛散性、敛散性的比值判别法
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一、题目
设 $p$ 为常数，若反常积分 $\int_{0}^{1} \frac{\ln x}{x^{p} \left(1 – x\right)^{1 – p}} \mathrm{~d}x$ 收敛，则 $p$ 的取值范围是 $\left( \quad \right)$
»A« $\left(-1, 1\right)$
»B« $\left(-1, 2\right)$
»C« $\left(-\infty, 1\right)$
»D« $\left(-\infty, 2\right)$
难度评级：
继续阅读“2022考研数二第05题解析：反常积分敛散性、敛散性的比值判别法”反常积分敛散性三个常用公式中第二个公式的推论公式
一、前言
由《反常积分敛散性的三个常用公式及推导证明》可知，判断反常积分敛散性三个常用公式中的第二个公式为：
$$
a > 0 \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d} x \begin{cases}
\text{收敛}, & p > 1 \\
\text{发散}, & p \leqslant 1
\end{cases}
$$
在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于上面的公式，推导出另一个判断反常积分敛散性的常用公式.
继续阅读“反常积分敛散性三个常用公式中第二个公式的推论公式”峰图 | 任意正次幂 $x^{a}$ 趋于 $0$ 的速度快于 $\ln x$ 趋于 $- \infty$ 的速度
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过推导计算证明，当 $a > 0$ 的时候，任意正次幂 $x^{a}$ 趋于 $0$ 的速度快于 $\ln x$ 趋于 $- \infty$ 的速度，从而证明：
$$
\lim_{x \to 0^{+}} x^{a} \ln x = 0
$$
判断反常积分敛散性的两个方法：泰勒展开和比值法
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过泰勒展开和比值两种方法判断下面这个反常积分的敛散性：
$$
\int_{0}^{1} \frac{x \ln x}{\left( 1 – x \right)^{2}} \mathrm{~d} x
$$
难度评级：
继续阅读“判断反常积分敛散性的两个方法：泰勒展开和比值法”与积分的敛散性相关的概念：奇性、瑕积分、反常积分
一、前言
普通的定积分通常不需要专门讨论其敛散性，因为只要被积函数是连续的，这个定积分就一定收敛.
但是，还存在一类不一定收敛的积分（当然也不一定发散），就是“反常积分”，这个时候就需要讨论敛散性了——
反常积分的敛散性问题，本质上是一个极限问题，如果反常积分的极限存在，就说这个反常积分收敛，如果极限不存在，就说这个反常积分发散.
在本文中，「荒原之梦考研数学」会将这些与积分敛散性有关的一些概念做一个详细的梳理和讲解.
二、正文
什么是“奇性”？
所谓“奇性”就是：函数在某个点附近没有“普通”的函数值，即：
- 函数值不存在（函数在该点处没有定义）；
- 函数值趋于正无穷大 $+ \infty$;
- 函数值趋于负无穷大 $- \infty$.
存在奇性的点也被称为“奇点”或者“瑕点”.
什么是“瑕积分”？
所谓“瑕积分”就是：积分区间（积分的上下限）一般是有限的，但被积函数在区间内某点或端点处存在奇性.
例如，对于积分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d}x$, 在 $x=0$ 处，有：
$$
\frac{1}{\sqrt{x}} \to \infty
$$
所以这不是普通定积分，而是瑕积分：
$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d}x = \lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \int_{\varepsilon}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d}x
$$
如果 $\lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \int_{\varepsilon}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d}x$ 这个极限存在，我们就说这个瑕积分收敛；否则就说这个瑕积分发散.
需要注意的是，函数在某点趋于无穷，不代表积分一定发散.
关于这一问题，我们可以简单地理解为：趋于无穷的速度快（函数图象与坐标轴围起来的面积不会无限增长），就可能不发散，趋于五穷的速度慢（函数图象与坐标轴围起来的面积无限增长），就可能发散.
例如，对于下面的积分，虽然被积函数 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 在 $0$ 处趋于无穷大，但是，该积分是收敛的：
$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d}x
$$
而对于下面的积分，被积函数 $\frac{1}{x}$ 在 $0$ 处也趋于无穷大，但是，该积分是发散的：
$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{x} \mathrm{~d}x
$$
什么是“反常积分”？
反常积分一般包括两类：
- 积分区间无限的反常积分，例如：
$$
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} \mathrm{~d}x
$$
- 积分区间有限，但被积函数有奇性的反常积分（也被称为瑕积分），例如：
$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d}x
$$
奇性和积分的敛散性有什么关系？
对于一个反常积分，只要有一个地方发散，整体就发散，而存在奇性的点很可能存在发散现象，所以，在判断反常积分敛散性的时候，我们要格外注意存在奇性的点.
例如，若 $x=0$ 和 $x=1$ 是函数 $f(x)$ 存在奇性的点（奇点），那么，对于 $\int_{0}^{1} f\left(x\right) \mathrm{~d}x$ 这个积分，就必须将积分区间分开看：
$$
\int_{0}^{\frac{1}{2}} f\left(x\right) \mathrm{~d}x + \int_{\frac{1}{2}}^{1} f\left(x\right) \mathrm{~d}x
$$
只有 $\int_{0}^{\frac{1}{2}} f\left(x\right) \mathrm{~d}x$ 和 $\int_{\frac{1}{2}}^{1} f\left(x\right) \mathrm{~d}x$ 这两个积分都收敛，原来的整个积分才收敛；如果其中一个发散，那么原来的整个积分就发散.
当然，对于 $\int_{0}^{1} f\left(x\right) \mathrm{~d}x$ 这个积分，我们也可以拆成下面这样的形式：
$$
\int_{0}^{\xi} f\left(x\right) \mathrm{~d}x + \int_{\xi}^{1} f\left(x\right) \mathrm{~d}x
$$
其中，$\xi \in \left( 0, 1 \right)$.
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2021年考研数二第22题解析：相似对角化
一、题目
设矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & a & b \end{pmatrix}$ 仅有两个不同的特征值. 若 $\boldsymbol{A}$ 相似于对角矩阵，求 $a, b$ 的值，并求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使 $\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}$ 为对角矩阵.
难度评级：
继续阅读“2021年考研数二第22题解析：相似对角化”2021年考研数二第21题解析：直角坐标系转极坐标系、二重积分的计算
一、题目
曲线 $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=x^{2}-y^{2}$（其中，$x \geqslant 0, y \geqslant 0$）与 $X$ 轴围成的区域为 $D$, 求 $\iint_{D}xy\mathrm{~d}x\mathrm{d}y$.
难度评级：
继续阅读“2021年考研数二第21题解析：直角坐标系转极坐标系、二重积分的计算”2021年考研数二第20题解析：一阶线性微分方程的求解、切线、极值
一、题目
函数 $y=y\left(x\right)$ 的微分方程 $x y^{\prime}-6y=-6$, 满足 $y\left(\sqrt{3}\right)=10$，
（1）求 $y\left(x\right)$；
（2）$P$ 为曲线 $y=y\left(x\right)$ 上的一点，曲线 $y=y\left(x\right)$ 在点 $P$ 的法线在 $Y$ 轴上的截距为 $I_{y}$, 为使 $I_{y}$ 最小，求 $P$ 的坐标.
难度评级：
继续阅读“2021年考研数二第20题解析：一阶线性微分方程的求解、切线、极值”2021年考研数二第19题解析：曲线的弧长、旋转曲面的面积
一、题目
$f\left(x\right)$ 满足 $\int \frac{f\left(x\right)}{\sqrt{x}}\mathrm{~d}x=\frac{1}{6}x^{2}-x+C$, $L$ 为曲线 $y=f\left(x\right) \quad \left(4 \leqslant x \leqslant 9\right)$, $L$ 的弧长为 $s$, $L$ 绕 $X$ 轴旋转一周所形成的曲面的面积为 $A$, 求 $s$ 和 $A$.
难度评级：
继续阅读“2021年考研数二第19题解析：曲线的弧长、旋转曲面的面积”2021年考研数二第18题解析：凹凸性、渐近线
一、题目
已知 $f\left(x\right) = \dfrac{x\left|x\right|}{1+x}$, 求 $f\left(x\right)$ 的凹凸性及渐近线.
难度评级：
继续阅读“2021年考研数二第18题解析：凹凸性、渐近线”2021年考研数二第17题解析：极限的计算、变上限积分、泰勒公式、洛必达运算
一、题目
求极限 $\lim_{x \to 0}\left(\frac{1+\int_{0}^{x}\mathrm{e}^{t^{2}}\mathrm{~d}t}{\mathrm{e}^{x}-1}-\frac{1}{\sin x}\right)$.
难度评级：
继续阅读“2021年考研数二第17题解析：极限的计算、变上限积分、泰勒公式、洛必达运算”双层旋转体体积的计算
一、题目
设 $D$ 为在 $y = \left(x – 1\right)^{2}$ 上方、在 $y = x + 1$ 下方的区域. 求将 $\mathcal{R}$ 绕 $X$ 轴旋转所得立体的体积.
难度评级：
继续阅读“双层旋转体体积的计算”基于“金木水火土”和汉字以及天干地支纪年法理解矩阵的乘法运算
在下面的式子中，列向量 $\begin{pmatrix} \text{金} & \text{木} & \text{水} & \text{火} & \text{土} \end{pmatrix}^{\top}$ 和行向量 $\begin{pmatrix} \text{金} & \text{木} & \text{水} & \text{火} & \text{土} \end{pmatrix}$ 相乘（外积）所得的 $5 \times 5$ 的矩阵中，每一个元素都是一个真实存在的汉字：
$$
\begin{pmatrix}
\text{金} \\
\text{木} \\
\text{水} \\
\text{火} \\
\text{土}
\end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix}
\text{金} & \text{木} & \text{水} & \text{火} & \text{土}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\text{鍂} & \text{鈢} & \text{淦} & \text{鈥} & \text{釷} \\
\text{鈢} & \text{林} & \text{沐} & \text{炑} & \text{杜} \\
\text{淦} & \text{沐} & \text{沝} & \text{淡} & \text{汢} \\
\text{鈥} & \text{炑} & \text{淡} & \text{炎} & \text{灶} \\
\text{釷} & \text{杜} & \text{汢} & \text{灶} & \text{圭} \\
\end{pmatrix}
$$
当然，基于天干地支纪年法，也可以表示向量乘法运算（外积）：
$$
\begin{aligned}
& \begin{pmatrix}
\tiny{\text{甲}} \\
\tiny{\text{乙}} \\
\tiny{\text{丙}} \\
\tiny{\text{丁}} \\
\tiny{\text{戊}} \\
\tiny{\text{己}} \\
\tiny{\text{庚}} \\
\tiny{\text{辛}} \\
\tiny{\text{壬}} \\
\tiny{\text{癸}}
\end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix}
\tiny{\text{子}} & \tiny{\text{丑}} & \tiny{\text{寅}} & \tiny{\text{卯}} & \tiny{\text{辰}} & \tiny{\text{巳}} & \tiny{\text{午}} & \tiny{\text{未}} & \tiny{\text{申}} & \tiny{\text{酉}} & \tiny{\text{戌}} & \tiny{\text{亥}}
\end{pmatrix} \\
= & \begin{pmatrix}
\tiny{\text{甲子}} & & \tiny{\text{甲寅}} & & \tiny{\text{甲辰}} & & \tiny{\text{甲午}} & & \tiny{\text{甲申}} & & \tiny{\text{甲戌}} & \\
& \tiny{\text{乙丑}} & & \tiny{\text{乙卯}} & & \tiny{\text{乙巳}} & & \tiny{\text{乙未}} & & \tiny{\text{乙酉}} & & \tiny{\text{乙亥}} \\
\tiny{\text{丙子}} & & \tiny{\text{丙寅}} & & \tiny{\text{丙辰}} & & \tiny{\text{丙午}} & & \tiny{\text{丙申}} & & \tiny{\text{丙戌}} & \\
& \tiny{\text{丁丑}} & & \tiny{\text{丁卯}} & & \tiny{\text{丁巳}} & & \tiny{\text{丁未}} & & \tiny{\text{丁酉}} & & \tiny{\text{丁亥}} \\
\tiny{\text{戊子}} & & \tiny{\text{戊寅}} & & \tiny{\text{戊辰}} & & \tiny{\text{戊午}} & & \tiny{\text{戊申}} & & \tiny{\text{戊戌}} & \\
& \tiny{\text{己丑}} & & \tiny{\text{己卯}} & & \tiny{\text{己巳}} & & \tiny{\text{己未}} & & \tiny{\text{己酉}} & & \tiny{\text{己亥}} \\
\tiny{\text{庚子}} & & \tiny{\text{庚寅}} & & \tiny{\text{庚辰}} & & \tiny{\text{庚午}} & & \tiny{\text{庚申}} & & \tiny{\text{庚戌}} & \\
& \tiny{\text{辛丑}} & & \tiny{\text{辛卯}} & & \tiny{\text{辛巳}} & & \tiny{\text{辛未}} & & \tiny{\text{辛酉}} & & \tiny{\text{辛亥}} \\
\tiny{\text{壬子}} & & \tiny{\text{壬寅}} & & \tiny{\text{壬辰}} & & \tiny{\text{壬午}} & & \tiny{\text{壬申}} & & \tiny{\text{壬戌}} & \\
& \tiny{\text{癸丑}} & & \tiny{\text{癸卯}} & & \tiny{\text{癸巳}} & & \tiny{\text{癸未}} & & \tiny{\text{癸酉}} & & \tiny{\text{癸亥}}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
注意：按照严格的干支纪年法，只有阴阳才能相配，一共有 60 个组合，即“六十甲子”. 因此，在上面的向量乘法运算中，用空位表示不属于六十甲子的组合.
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