前言
利用零点定理和单调性判断函数在一个区间内零点的具体个数或者大致个数属于考研数学中一类基础题目。在本文中，荒原之梦考研数学将通过多张函数图像，形象的阐述清楚该考点的原理，还会通过一些例题，加深同学们对该考点的理解。
利用零点定理和单调性判断实根个数的原理分析与例题
分类： 考研数学
对涉及反三角函数的数列进行敛散性和单调性的判定
一、题目
已知数列 $\left\{x_{n}\right\}$，且有如下说法：
① 若 $\left\{\arctan x_{n}\right\}$ 收敛，则 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛
② 若 $\left\{\arctan x_{n}\right\}$ 单调，则 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛
③ 若 $x_{n} \in[-1,1]$, 且 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛，则 $\left\{\arcsin x_{n}\right\}$ 收敛
④ 若 $x_{n} \in[-1,1]$, 且 $\left\{x_{n}\right\}$ 单调，则 $\left\{\arcsin x_{n}\right\}$ 收敛
则上面的说法中，正确的是哪些？
(A). ① ②
(C). ① ③
(B). ③ ④
(D). ② ④
难度评级：
继续阅读“对涉及反三角函数的数列进行敛散性和单调性的判定”极坐标系二重积分的转换坐标系和调换积分次序的计算
一、题目
$I$ $=$ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \sigma \int_{0}^{\frac{1}{\sin \theta}} f(r) r \mathrm{~d} r$ $=$ $?$
(A) $\int_{0}^{1}$ $\mathrm{~d} x$ $\int_{0}^{1} f\left(\sqrt{x^{2} + y^{2}}\right)$ $\mathrm{~d} y$
(B) $\int_{0}^{1}$ $\mathrm{~d} x$ $\int_{1}^{x} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$ $\mathrm{~d} y$
(C) $\int_{0}^{1}$ $\mathrm{~d} r$ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}$ $f(r) r \mathrm{~d} \sigma$ $+$ $\int_{1}^{\sqrt{2}}$ $\mathrm{~d} r$ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\arcsin \frac{1}{r}}$ $f(r) r$ $\mathrm{~d} \sigma$
(D) $\int_{0}^{\sqrt{2}}$ $\mathrm{dr}$ $\int_{\arcsin \frac{1}{\mathrm{r}}}^{\frac{\pi}{4}}$ $f(\mathrm{r})$ $\mathrm{~d} \sigma$
难度评级：
继续阅读“极坐标系二重积分的转换坐标系和调换积分次序的计算”无穷大乘以无穷大一定得更高阶的无穷大
一、题目
已知，当 $x \rightarrow + \infty$ 时, $f(x)$, $g(x)$ 都是无穷大, 则当 $x \rightarrow + \infty$ 时, 下列结论正确的是哪个？
A. $f(x)-g(x)$ 是无穷小
C. $\frac{f(x)+g(x)}{f(x) g(x)}$ 是无穷小
B. $f(x)+g(x)$ 是无穷大
D. $\frac{g(x)}{f(x)} \rightarrow 1$
难度评级：
继续阅读“无穷大乘以无穷大一定得更高阶的无穷大”对于不是分式的式子一般不能直接“抓大头”
一、题目
已知，函数 $f(x)$ $=$ $\sqrt{1+x+x^{2}}$ $-$ $\sqrt{1-x+x^{2}}$, 则 ( )
A. $f(x)$ 为奇函数
C. $f(x)$ 为无界函数
B. $f(x)$ 为偶函数
D. $\lim \limits_{x \rightarrow \infty}$ $f(x)$ $=$ $1$
难度评级：
继续阅读“对于不是分式的式子一般不能直接“抓大头””利用单调函数的定义判断复合函数的单调性
一、题目
设函数 $f(x)$ $=$ $\cos (\sin x)$, $g(x)$ $=$ $\sin (\cos x)$, 则当 $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时，可以判断（ ）
A. $f(x)$ 单调增加，$g(x)$ 单调减少
C. $f(x)$ 与 $g(x)$ 都单调减少
B. $f(x)$ 单调减少，$g(x)$ 单调增加
D. $f(x)$ 与 $g(x)$ 都单调增加
难度评级：
继续阅读“利用单调函数的定义判断复合函数的单调性”复合运算对单调性和奇偶性的影响
一、前言 
在《快速判断函数奇偶性的方式汇总》这篇笔记中，我们涉及了复合运算对函数奇偶性的影响。在本文，荒原之梦考研数学将只从复合运算的角度，总结复合运算对单调性和奇偶性的影响，以供同学们参考。
继续阅读“复合运算对单调性和奇偶性的影响”利用奇偶性和对称性直接计算极坐标系下的二重积分
一、题目
$I$ $=$ $\iint_{x^{2}+y^{2} \leq 1}$ $(2 x+3 y)^{2}$ $\mathrm{~d} \sigma$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“利用奇偶性和对称性直接计算极坐标系下的二重积分”这道题目用荒原之梦考研数学的“单路径约束法”可以“秒解”
一、题目
函数 $f(x)$ $=$ $|x \sin x| \mathrm{e}^{\cos x}$, $x \in(-\infty, +\infty)$, 是 ( )
A. 单调函数
C. 有界函数
B. 周期函数
D. 偶函数
难度评级：
继续阅读“这道题目用荒原之梦考研数学的“单路径约束法”可以“秒解””绝对值的运算性质汇总
你会用“逆向洛必达运算”解题吗？
一、题目
已知函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内二阶连续可导，且：
$$
\textcolor{white}{
I = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-f(x)}-1}{\int_{0}^{x} \ln \cos (x-t) \mathrm{~d} t}=-1
}
$$
则一下选项中，正确的是哪个？
(A) $x=0$ 为 $f(x)$ 的极小值点
(B) $x=0$ 为 $f(x)$ 的极大值点
(C) $x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，$(0, f(0))$ 也不是曲线 $y = f(x)$ 的拐点
(D) $(0, f(0))$ 为曲线 $y = f(x)$ 的拐点
难度评级：
继续阅读“你会用“逆向洛必达运算”解题吗？”通过全微分确定二元函数的非条件极值
一、题目
已知函数 $z=f(x, y)$ 的全微分 $\mathrm{~d} z$ $=$ $\left(a y-x^{2}\right) \mathrm{~d} x$ $+$ $\left(a x-y^{2}\right) \mathrm{~d} y$, $(a>0)$ 则函数 $f(x, y)$
(A) 无极值点
(B) 点 $(a, a)$ 为极小值点
(C) 点 $(a, a)$ 为极大值点
(D) 是否有极值点与 $a$ 的取值有关
难度评级：
本题的难点在于从题目给出的全微分式子中确定一阶偏导函数的表达式。
变上限积分一定可导吗？
一、题目
设 $f(x)$ $=$ $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{-x+x \mathrm{e}^{n x}}{1+\mathrm{e}^{n x}}$, 则 $F(x)$ $=$ $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 （ ）
(A) 可导的偶函数
(C) 连续但不可导的偶函数
(B) 可导的奇函数
(D) 连续但不可导的奇函数
难度评级：
继续阅读“变上限积分一定可导吗？”证明：导函数连续则原函数一定可导
2024年考研数二第20题解析：多元复合函数求偏导、一重定积分的计算
一、题目
$f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数, 且：
$g(x, y)$ $=$ $f(2 x+y, 3 x-y)$
$\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}$ $+$ $\frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y}$ $-$ $6 \frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}$ $=$ $1$
(1) 求 $\frac{\partial^{2} f}{\partial u \partial v}$ 的值;
(2)若 $\frac{\partial f(u, 0)}{\partial u}$ $=$ $u \mathrm{e}^{-u}$, $f(0, v)$ $=$ $\frac{1}{50} v^{2}$ $-$ $1$, 求 $f(u, v)$.
难度评级：
继续阅读“2024年考研数二第20题解析：多元复合函数求偏导、一重定积分的计算”