一、前言 
在本文中,「荒原之梦考研数学」将通过直观形象的图示,为同学讲解清楚函数的间断点。
继续阅读“函数间断点的分类与图象示例”在本文中,「荒原之梦考研数学」将借助积分的平滑性来证明“可导必连续”这一结论,有关该结论的另一种证明方式,可以查阅《关于可导必连续的一个传统方式证明》这篇文章。
继续阅读“关于可导必连续的一个基于积分平滑性的证明”考研,还是找工作,又或者考研之后找工作,都可能是正确的选择。
问题的关键在于,我们对未来有没有清晰的规划。
诚然,我们无法预知未来的发展,就像一条小船行驶在茫茫大海,我们无法准确预测明天是晴空万里,碧海微波,还是狂风骤雨,千尺巨浪。
但是,如果我们连要去往的港湾,以及走哪条航线去往这个港湾都没有规划的话,能否抵达一个理想的港湾,就真的成为了一个随机事件。
所以,无论考研还是找工作,我们都需要对自己的人生有一个规划:我想从事什么样的工作?我需要做什么才可以从事这样的工作?我有哪方面的兴趣或者特长?我面临哪些现实的阻碍?诸如此类的问题,我们都要认真审视,并且努力尝试给出比较符合实际的答案。
考研,不是我们最终的目的,只是我们实现梦想的手段之一。无论是否考研,积极勇敢的去过好每一天,乐观向上的去追梦,这样的人生,无论贫穷或富有,都将明媚且伟大!
所谓“可导必连续”说的是,如果一个函数 $f(x)$ 在点 $x = x_{0}$ 处的导数 $f ^{\prime} (x_{0})$ 存在,那么,函数 $f(x)$ 在 $x = x_{0}$ 处一定是连续的。
在本文中,「荒原之梦考研数学」将通过导数的定义证明上面的结论。
继续阅读“关于可导必连续的一个传统方式证明”积分运算具有使被积函数变得更加平滑的能力,但是,很多参考资料并没有从本质上解释清楚为什么积分具有“平滑”的作用,只是单纯的抛出了这一个结论。
在本文中,「荒原之梦考研数学」将从本质上阐述清楚积分为什么具有平滑的能力。
继续阅读“为什么积分运算具有使函数变得“平滑”的能力?”已知,函数 $f(x)$ $=$ $\ln x + \frac{1}{x}$.
(Ⅰ) 求 $f(x)$ 的最小值;
(Ⅱ) 设数列 ${ x_{n} }$ 满足条件 $\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n+1}} < 1$, 请证明 $\lim_{n \rightarrow \infty}x_{n}$ 存在, 并求该极限值.
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继续阅读“用函数图象看明白函数极值与数列极限之间的关系”已知,数列 ${ x_{n} }$ 满足: $x_{1} > 0$, $x_{n}\mathrm{e}^{x_{n+1}}$ $=$ $\mathrm{e}^{x_{n}}-1$, 其中 $n$ $=$ $1, 2, 3, \cdots$.
请证明数列 ${ x_{n} }$ 收敛,并求解 $\lim_{n \rightarrow \infty}x_{n}$.
难度评级:
继续阅读“对数可以将“指数因子”变成“乘数因子””等价无穷小公式是考研数学中一个非常常用的工具。
但是,这些等价无穷小公式都是怎么来的呢?
如果说 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$ 就意味着 $\lim_{x \rightarrow 0} \alpha(x)$ 和 $\lim_{x \rightarrow 0} \beta(x)$ 是等价无穷小,但是,为什么式子 $\frac{\lim_{x \rightarrow 0} \alpha(x)}{\lim_{x \rightarrow 0} \beta(x)}$ 就等于 $1$ 呢?
在本文中,「荒原之梦考研数学」将借助“一点处的斜率”这一概念,为同学讲清楚等价无穷小公式的来龙去脉。当然,同学们也可以借助本文中使用的方法,来推导和记忆等价无穷小公式。
继续阅读“等价无穷小的本质:$x = 0$ 处斜率相等”已知 $y = \frac{x}{\ln x}$ 是微分方程 $y ^{\prime} = \frac{y}{x} + \phi \left( \frac{x}{y} \right)$ 的唯一解,则函数 $\phi \left(\frac{x}{y}\right)$ 的显式表达式为 $\underline{\quad \quad \quad}$.
难度评级:
继续阅读“函数的表达式必须由函数的自变量组成”今天,我们来聊一聊:AI(人工智能)
自从 2024 年 AI 的浪潮逐渐爆发以来,各种 AI 大模型已经以迅雷不及掩耳之势渗透进了我们的生活、工作和学习之中。然而,在享受 AI 工具所带来的便利之余,我们也常常听到下面这样的消息:
“某公司因为引入 AI 而裁掉了大部分员工······”,
“某某岗位即将被 AI 取代······”,
“AI 即将在 20XX 年全面超越人类······”,等等。
所以,部分同学可能也会陷入这样的怀疑:如果寒窗苦读十几载,还不如 AI 更懂自己的专长领域,那么,我们学习的意义还存在吗?
首先,我要说的是,目前的 AI 在底层逻辑上,并不具备全面取代人类的能力。
客观上讲,AI 就是一部综合了几乎人类所有知识的《百科全书》,我们可以在其中找到很多问题的答案(当然,这些答案不一定全都完美,也不一定全都正确)。
那么,我们会认为一本《百科全书》有智能吗?我们会认为自己会被一本《百科全书》取代吗?
很显然,并不会。
人类的核心价值,在于我们对探索未知的渴望,以及创造新知的热情,这其中交织着的,才是真正的人类智慧——
那些灵光乍现的顿悟仍然只能在人类的脑海中诞生。
而 AI 只能给出中庸、刻板,时而冗长的回答。
当然,人类的价值还包括感染和影响他人的能力——
我们会因为一个人独特且温暖的人格而心生敬仰,但我们很难对与我们属于不同“物种”的机器,产生类似的情感。
否则,世界上几乎所有的计算机,都是标准的、可歌可泣的“劳模”。
是的,AI 绝对不是一无是处,人类的确应该大力发展 AI,因为 AI 可以将我们从繁杂的事务中解脱出来,更专注于创造,也更专注于内心。
诚然,这是一个更具挑战性,也更具可能性的时代,但这不是 AI 的时代,这仍然是人类的时代,是属于我们的时代。
已知,矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $a \boldsymbol{A}^{2} + b \boldsymbol{A} + c \boldsymbol{E}$ $=$ $0$, 其中 $c \neq 0$.
请证明:矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆,并求解 $\boldsymbol{A}^{-1}$.
继续阅读“逆矩阵快速求解公式:满足一元二次方程形式的矩阵”在做一些涉及极限的求和题目时,我们会发现,有些解法就是通过将求和转为积分的方式完成的求解。
那么,为什么极限场景下的求和一般可以表示为积分呢?
在本文中,「荒原之梦考研数学」通过将积分的物理意义从有向的几何量(面积、体积)或者物理意义,更改为“有向权重”的方式,探讨一种更接近积分与求和所蕴含的本质的理解方式,从而理清楚积分与求和之间的关系。
继续阅读“为什么极限场景下的求和一般可以表示为积分?”这里的“有向”是指存在“正”和“负”两种值。与传统上对积分有向面积或者有向体积的定义一样,本文中也将位于二维坐标水平轴或者三维坐标水平面上方的“有向权重”定义为“正”,下方的“有向权重”则定义为“负”——当然,“有向”并不是本文讨论的重点,也不是本文所提出的“权重”的必须性质,所以,在本文中接下来阐述“有向权重”的时候,会侧重于讨论“权重”本身。
用求和符号 $\sum$ 表示的求和运算是一种非常基本运算形式。在本文中,「荒原之梦考研数学」将通过地铁线路的方式,为同学们形象地解释单重求和与双重求和的计算思路。
继续阅读“用地铁线路理解单重求和与双重求和的计算”