作者： 荒原之梦

定义 1：数列的极限

$\lim_{n \to \infty} x_{n} = A$ 等价于：

对于 $\forall \varepsilon > 0$, $\exists$ 正整数 $N$, 使得当 $n > N$ 时，有 $\left| x_{n} – A \right| < \varepsilon$.

其中，$A$ 是一个有限数.

若一个数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 存在极限，就称该数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 收敛，否则，就称该数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 发散.

定义 2：函数的极限

$\lim_{x \to \infty} f \left( x \right) = A$ 等价于：

对于 $\forall \varepsilon > 0$, $\exists$ 正数 $X$, 使得当 $\left| x \right| > X$ 时有 $\left| f \left( x \right) – A \right| < \varepsilon$.

类似地，可定义函数的单侧极限 $\lim_{x \to + \infty} f \left( x \right) = A$ 和 $\lim_{x \to – \infty} f \left( x \right) = A$.

注意：

在函数极限情形下 $x \to \infty$ 与数列极限中 $n \to \infty$ 的意义不同：在函数中，$x \to \infty$ 指的是 $x \to \pm \infty$, 而在数列中，$x \to \infty$ 指的是 $n \to + \infty$.

需要注意的是，在函数中，虽然 $x \to \infty$ 指的是 $x \to \pm \infty$, 但是，如果题目只说了 $x \to \infty$, 我们就只需要考虑 $x \to + \infty$ 这一种情况即可，这算是一个做题时的惯例（例如这道题）.

不过，在函数中，如果说了 $x \to a$, 其中 $a$ 是一个常数或者表示某个常数的符号，则就需要分别考虑 $x \to a^{-}$ 和 $x \to a^{+}$ 这两种极限，因为这涉及到一点处的极限是否存在的问题.

定义 3：函数的极限

$\lim_{x \to x_{0}} f \left( x \right) = A$ 等价于：

对于 $\forall \varepsilon > 0$, $\exists$ 正数 $\delta$, 使得当 $0 < \left| x – x_{0} \right| < \delta$ 时有 $\left| f \left( x \right) – A \right| < \varepsilon$.

类似地，可以定义 $f \left( x \right)$ 当 $x \to x_{0}$ 时的左极限 $f \left( x_{0}^{-} \right)$ 和右极限 $f \left( x_{0}^{+} \right)$:

$$
\begin{aligned}
f \left( x_{0}^{-} \right) & = \lim_{x \to x_{0}^{-}} f \left( x \right) = A \\ \\
f \left( x_{0}^{+} \right) & = \lim_{x \to x_{0}^{+}} f \left( x \right) = A
\end{aligned}
$$

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数列极限的基本性质

定理 1：极限的不等式性质

设 $\lim_{n \to \infty} x_{n} = a$, $\lim_{n \to \infty} y_{n} = b$.

推论：

（1）若 $a > b$, 则 $\exists N$, 当 $n > N$ 时有 $x_{n} > y_{n}$；

（2）若 $n > N$ 时 $x_{n} \geqslant y_{n}$, 则 $a \geqslant b$.

定理 2：收敛数列的有界性

若数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 收敛，则数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 有界.

所谓“有界”就是指：$\exists$ 常数 $M > 0$, $\left| x_{n} \right| \leqslant M$, $n = 1, 2, 3, \cdots$.

函数极限的基本性质

定理 3：极限的不等式性质

设 $\lim_{x \to x_{0}} f \left( x \right) = A$, $\lim_{x \to x_{0}} g \left( x \right) = B$, 则：

（1）若 $A > B$, 则 $\exists \delta > 0$ 使得当 $0 < \left| x – x_{0} \right| < \delta$ 时有 $f \left( x \right) > g \left( x \right)$；

（2）若 $\exists \delta > 0$, 使得当 $0 < \left| x – x_{0} \right| < \delta$ 时有 $f \left( x \right) \geqslant g \left( x \right)$，则 $A \geqslant B$；

（3）若 $\exists \delta > 0$, 使得当 $0 < \left| x – x_{0} \right| < \delta$ 时有 $f \left( x \right) > g \left( x \right)$，则 $A \geqslant B$.

Tip

本文中的 $0 < \left| x – x_{0} \right| < \delta$ 表示的就是点 $x = x_{0}$ 处的一个不去心的邻域，而 $U_{0} \left( x_{0}, \delta \right) = \left\{ x \mid 0 < \left| x – x_{0} \right| < \delta \right\}$ 表示的则是点 $x = x_{0}$ 处的一个去心的邻域.

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推论（极限的保号性）：

设 $\lim_{x \to x_{0}} f \left( x \right) = A$, 则：

（1）若 $A > 0$, 则 $\exists \delta > 0$ 使得当 $0 < \left| x – x_{0} \right| < \delta$ 时有 $f \left( x \right) > 0$；

（2）若 $\exists \delta > 0$，使得当 $0 < \left| x – x_{0} \right| < \delta$ 时有 $f \left( x \right) \geqslant 0$，则 $A \geqslant 0$.

定理 4：存在极限的函数局部有界性

设存在极限 $\lim_{x \to x_{0}} f \left( x \right) = A$，则 $f \left( x \right)$ 在 $x_{0}$ 的某空心邻域 $U_{0} \left( x_{0}, \delta \right) = \left\{ x \mid 0 < \left| x – x_{0} \right| < \delta \right\}$ 内有界，即 $\exists \delta > 0$ 与 $M > 0$，使得当 $0 < \left| x – x_{0} \right| < \delta$ 时有 $\left| f \left( x \right) \right| \leqslant M$.

推论：

其他类似的极限过程，如 $x \to x_{0^{+}}$, $x \to x_{0^{- }}$, $x \to +\infty$ 和 $x \to -\infty$ 等也有与上面的“定理 4”类似的结论.

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