一个常用的无穷大量的比较公式

一、前言 前言 - 荒原之梦

本文介绍了一种常用的无穷大量的比较公式,在解答一些涉及无穷大的比较的题目时,可以加快解题速度。

二、正文 正文 - 荒原之梦

简要记法:
只需要记住下面这个式子即可掌握考研数学中常用的无穷大量的比较公式(变量 $x$ 的“海拔”越高,意味着这个式子的值越大,下面三个式子从左到右越来越大,而且这里的“大”指的是不同量级的大):

$$
{\Huge
\ln_{_{\underline{\textcolor{green}{x}}}} \Rightarrow \underline{\textcolor{orange}{x}}^{\beta} \Rightarrow a^\underline{{\textcolor{red}{x}}}
}
$$

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当然,我们从函数图象上(下图中只展示了各个函数 $x > 0$ 的部分),也可以很直观的看到 $y = 2^{x}$(橙色曲线)$y=x^{2}$(绿色曲线)$y = 2x$(紫色直线)$y = (\ln x)^{2}$(蓝色曲线)之间的大小量级:

一个常用的无穷大量的比较公式 | 荒原之梦
图 01.

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下面是更加严谨一些的阐述(如果上面的内容已经理解,就不需要往下看了):

已知 $\alpha$ $>$ $0$, $\beta$ $>$ $0$, $a$ $>$ $1$, 当 $x$ $\rightarrow$ $+ \infty$ 时,有如下结论成立:

$$
\ln ^{\alpha} x \ll x^{\beta} \ll a^{x}
$$

$$
a^{x} \gg x^{\beta} \gg \ln^{\alpha}x
$$

其中,$\ll$ 表示“远小于”,$\gg$ 表示“远大于”。

即:指数型增长最大,其次是倍数型增长,最后是对数型增长。

例如:

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} x^{2} \quad \ll \quad \lim_{x \rightarrow + \infty} e^{x^{2}}
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} x^{\textcolor{green}{ \mathbf{-} }2} \quad \gg \quad \lim_{x \rightarrow + \infty} e^{\textcolor{green}{ \mathbf{-} } x^{2}}
$$

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