1987 年考研数二真题解析

前言

在本文中,荒原之梦网从考试实战的角度出发,详细解析了考研数学二 1987 年的真题。

注意事项:
1. 按照原试卷结构,每页一类题,点击页码可以切换;
2. 蓝色部分为题干。

一、填空题 (本题满分 15 分, 每小题 3 分)

(1) 设 $y=\ln (1+a x)$, 其中 $a$ 为非零常数, 则 $y^{\prime}=?$, $y^{\prime \prime}=?$

直接求导即可:

$$
y^{\prime}=\frac{a}{1+a x}
$$

$$
y^{\prime \prime}=\frac{-a^{2}}{(1+a x)^{2}}
$$

(2) 曲线 $y=\arctan x$ 在横坐标为 $1$ 的点处的切线方程是()法线方程是()

$$
y^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}} \Rightarrow x=1 \Rightarrow k=y^{\prime}=\frac{1}{2}
$$

$$
\frac{-1}{k}=-2 \Rightarrow \arctan 1=\frac{\pi}{4} \Rightarrow
$$

$$
y-\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}(x-1) \Rightarrow y=\frac{1}{2} x-\frac{1}{2}+\frac{\pi}{4}
$$

$$
y-\frac{\pi}{4}=-2(x-1) \Rightarrow y=-2 x+2+\frac{\pi}{4}
$$

(3)积分中值定理的条件是(), 结论是()

条件: $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 存在 $\xi \in[a, b]$

结论: $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{~ d} x=f(\xi) \cdot(b-a)$.

(4) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n-2}{n+1}\right)^{n}=?$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n-2}{n+1}\right)^{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{n-2}{n+1}-1\right)^{n}=
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{n-2-n-1}{n+1}\right)^{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{-3}{n+1}\right)^{\frac{n+1}{-3} \cdot n \cdot \frac{-3}{n+1}} =
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} e^{\frac{-3 n}{n+1}}=e^{-3}
$$

(5) $\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=?$; $\int_{a}^{b} f^{\prime}(2 x) \mathrm{d} x=?$

$$
\int f^{\prime}(x) \mathrm{~ d} x=f(x) + \textcolor{springgreen}{ C }
$$

$$
\int_{a}^{b} f^{\prime}(2 x) \mathrm{~ d} x=\frac{1}{2} \int_{a}^{b} f^{\prime}(2 x) \mathrm{~ d} (2 x)=
$$

$$
\frac{1}{2}[f(2 b)-f(2 a)]
$$