零点定理(B002)

问题

以下有关闭区间上连续函数【零点定理】的说法中,正确的是哪个?
所有选项的前提条件均为:函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续且 $f(a)$ $\times$ $f(b)$ $<$ $0$.

选项

[A].   必存在 $\xi$ $\in$ $(a, b)$, 使得 $f(\xi)$ $=$ $0$
[B].   必存在 $\xi$ $\in$ $[a, b]$, 使得 $f(\xi)$ $=$ $0$
[C].   必存在 $\xi$ $\in$ $[a, b)$, 使得 $f(\xi)$ $=$ $0$
[D].   必存在 $\xi$ $\in$ $(a, b)$, 使得 $f(\xi)$ $\neq$ $0$

显示答案

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续且 $f(a)$ $\times$ $f(b)$ $<$ $0$, 则必存在 $\xi$ $\in$ $(a, b)$, 使得 $f(\xi)$ $=$ $0$.
此外,如果 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上为单调函数,则必存在且唯一存在 $\xi$ $\in$ $(a, b)$, 使得 $f(\xi)$ $=$ $0$.