高等数学基础归档 - 第46页共56页

问题

以下有关闭区间上连续函数【介值定理推论】的说法中，正确的是哪个？
所有选项的前提条件均为：函数

f (x)

在闭区间

[a, b]

上连续，

m

和

M

分别是该函数在区间

[a, b]

上的最小值和最大值，

m

⩽

c

⩽

M

选项

[A]. 必存在

ξ

\in

[a, b]

, 使

f (ξ)

<

c

[B]. 必存在

ξ

\in

[a, b]

, 使

f (ξ)

>

c

[C]. 必存在

ξ

\in

[a, b]

, 使

f (ξ)

=

c

[D]. 必存在

ξ

\in

[a, b]

, 使

f (ξ)

\neq

c

答案

若函数 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续， $m$ 和 $M$ 分别是该函数在区间 $[a, b]$ 上的最小值和最大值， $m$ $⩽$ $c$ $⩽$ $M$ , 则必存在 $ξ$ $\in$ $[a, b]$ , 使 $f (ξ)$ $=$ $c$

闭区间上连续函数的性质：

问题

以下有关闭区间上连续函数【介值定理】的说法中，正确的是哪个？
所有选项的前提条件均为：函数

f (x)

在闭区间

[a, b]

上连续且

f (a)

\neq

f (b)

c

是介于

f (a)

和

f (b)

之间的一个常数.

选项

[A]. 必存在

ξ

\in

(a, b)

, 使得

f (ξ)

>

c

.

[B]. 必存在

ξ

\in

(a, b)

, 使得

f (ξ)

=

c

.

[C]. 必存在

ξ

\in

(b, a)

, 使得

f (ξ)

=

c

.

[D]. 必存在

ξ

\in

(a, b)

, 使得

f (ξ)

<

c

答案

若函数 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续且 $f (a)$ $\neq$ $f (b)$ , $c$ 是介于 $f (a)$ 和 $f (b)$ 之间的一个常数，则必存在 $ξ$ $\in$ $(a, b)$ , 使得 $f (ξ)$ $=$ $c$ .

闭区间上连续函数的性质：

问题

以下有关闭区间上连续函数【零点定理】的说法中，正确的是哪个？
所有选项的前提条件均为：函数

f (x)

在闭区间

[a, b]

上连续且

f (a)

\times

f (b)

<

0

选项

[A]. 必存在

ξ

\in

[a, b]

, 使得

f (ξ)

=

0

[B]. 必存在

ξ

\in

[a, b)

, 使得

f (ξ)

=

0

[C]. 必存在

ξ

\in

(a, b)

, 使得

f (ξ)

\neq

0

[D]. 必存在

ξ

\in

(a, b)

, 使得

f (ξ)

=

0

答案

若函数 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续且 $f (a)$ $\times$ $f (b)$ $<$ $0$ , 则必存在 $ξ$ $\in$ $(a, b)$ , 使得 $f (ξ)$ $=$ $0$ .
此外，如果 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上为单调函数，则必存在且唯一存在 $ξ$ $\in$ $(a, b)$ , 使得 $f (ξ)$ $=$ $0$ .

闭区间上连续函数的性质：

问题

以下有关闭区间上连续函数【有界性定理】的说法中，正确的是哪个？
所有选项的前提条件均为：函数

f (x)

在闭区间

[a, b]

上连续.

选项

[A].

f (x)

在

[a, b]

上必无界

[B].

f (x)

在

[a, b]

上可能有界

[C].

f (x)

在

[a, b]

上必有界

[D].

f (x)

在

[a, b]

上可能无界

答案

若函数 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上必有界

闭区间上连续函数的性质：

问题

以下有关闭区间上连续函数【最值定理】的说法中，正确的是哪个？
所有选项的前提条件均为：函数

f (x)

在闭区间

[a, b]

上连续.

选项

[A].

f (x)

在

[a, b]

上必有最小值

[B].

f (x)

在

[a, b]

上必有最大值

[C].

f (x)

在

[a, b]

上必有最大值或最小值

[D].

f (x)

在

[a, b]

上必有最大值和最小值

答案

若函数 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上必有最大值和最小值

闭区间上连续函数的性质：

问题

下面关于【什么是震荡间断点】的表述中，正确的是哪个？

选项

[A]. 当

x

\to

x_{0}

时，函数值

f (x_{0})

反复变化无限多次

[B]. 当

x

\to

x_{0}

时，函数值

f (x_{0})

在一个上下有界的范围内反复变化多次

[C]. 当

x

\to

x_{0}

时，函数值

f (x_{0})

在一个上下有界的范围内反复变化无限多次

[D]. 当

x

\to

x_{0}

时，函数值

f (x_{0})

在一个上下有界的范围内反复变化无限多次，直至等于零

答案

当 $x$ $\to$ $x_{0}$ 时，函数值 $f (x_{0})$ 在一个上下有界的范围内反复变化无限多次，则点 $x_{0}$ 就是函数 $f (x)$ 的一个震荡间断点.
Tips: 震荡间断点属于第二类间断点.

问题

下面关于【什么是无穷间断点】的表述中，正确的是哪个？

选项

[A].

lim_{x \to x_{0}^{-}}

f (x)

=

\infty

且

lim_{x \to x_{0}^{+}}

f (x)

=

\infty

[B].

lim_{x \to x_{0}^{-}}

f (x)

=

- \infty

或

lim_{x \to x_{0}^{+}}

f (x)

=

+ \infty

[C].

lim_{x \to x_{0}^{-}}

f (x)

=

\infty

和

lim_{x \to x_{0}^{+}}

f (x)

=

\infty

[D].

lim_{x \to x_{0}^{-}}

f (x)

=

\infty

或

lim_{x \to x_{0}^{+}}

f (x)

=

\infty

答案

$lim_{x \to x_{0}^{-}}$ $f (x)$ $=$ $\infty$ 或 $lim_{x \to x_{0}^{+}}$ $f (x)$ $=$ $\infty$
Tips: 无穷间断点属于第二类间断点.

问题

下面关于【什么是跳跃间断点】的表述中，正确的是哪个？

选项

[A].

lim_{x \to x_{0}^{-}}

=

A

\neq

lim_{x \to x_{0}^{+}}

=

B

[B].

lim_{x \to x_{0}^{-}}

=

A

<

lim_{x \to x_{0}^{+}}

=

B

[C].

lim_{x \to x_{0}^{-}}

=

A

>

lim_{x \to x_{0}^{+}}

=

B

[D].

lim_{x \to x_{0}^{-}}

=

A

=

lim_{x \to x_{0}^{+}}

=

B

答案

$lim_{x \to x_{0}^{-}}$ $=$ $A$ , $lim_{x \to x_{0}^{+}}$ $=$ $B$ , 其中， $A$ 和 $B$ 都是常数，且 $A$ $\neq$ $B$
Tips: 跳跃间断点属于第一类间断点.

问题

下面关于【什么是可去间断点】的表述中，正确的是哪个？

选项

[A].

lim_{x \to x_{0}^{-}}

f (x)

=

lim_{x \to x_{0}^{+}}

f (x)

[B].

lim_{x \to x_{0}^{-}}

f (x)

=

0

或

lim_{x \to x_{0}^{+}}

f (x)

=

0

[C].

lim_{x \to x_{0}^{-}}

f (x)

=

\infty

或

lim_{x \to x_{0}^{+}}

f (x)

=

\infty

[D].

lim_{x \to x_{0}^{-}}

f (x)

\neq

lim_{x \to x_{0}^{+}}

f (x)

答案

$lim_{x \to x_{0}^{-}}$ $f (x)$ $=$ $lim_{x \to x_{0}^{+}}$ $f (x)$
Tips: 可去间断点属于第一类间断点.

问题

下面关于【函数第二类间断点】的说法中，正确的是哪个？

选项

[A]. 第二类间断点的间断点左右两侧极限值都【存在】

[B]. 第二类间断点的间断点左右两侧极限值至少有一个【不存在】

[C]. 第二类间断点的间断点左右两侧极限值都【存在】且【相等】

[D]. 第二类间断点的间断点左右两侧极限值至少有一个【存在】

答案

$>>$ 间断点左右两侧的极限值至少有一个不存在的间断点为第二类间断点.
$>>$ 即极限 $lim_{x \to x_{0}^{+}}$ $f (x)$ 和 $lim_{x \to x_{0}^{-}}$ $f (x)$ 至少有一个不存在，则 $x$ $=$ $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的第二类间断点.
$>>$ 第二类间断点包含【无穷间断点】和【震荡间断点】两种.

问题

下面关于【函数第一类间断点】的说法中，正确的是哪个？

选项

[A]. 第一类间断点的间断点左右两侧极限值都【不存在】

[B]. 第一类间断点的间断点左右两侧极限值都【存在】

[C]. 第一类间断点的间断点左右两侧极限值都【存在】但【不相等】

[D]. 第一类间断点的间断点左右两侧极限值至少有一个【存在】

答案

$>>$ 间断点左右两侧的极限值都存在的间断点为第一类间断点.
$>>$ 即极限 $lim_{x \to x_{0}^{+}}$ $f (x)$ 和 $lim_{x \to x_{0}^{-}}$ $f (x)$ 都存在，则 $x$ $=$ $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的第一类间断点.
$>>$ 第一类间断点包含【可去间断点】和【跳跃间断点】两种.

问题

设函数

f (x)

在点

x_{0}

的某个邻域内有定义，则以下哪个选项可以说明【函数

f (x)

在点

x_{0}

处连续】？

选项

[A].

lim_{x \to x_{0}}

f (x)

<

f (x_{0})

[B].

lim_{x \to x_{0}}

f (x)

>

f (x_{0})

[C].

lim_{x \to x_{0}}

f (x)

=

f (x)

[D].

lim_{x \to x_{0}}

f (x)

=

f (x_{0})

答案

$lim_{x \to x_{0}}$ $f (x)$ $=$ $f (x_{0})$
Tips: 若函数在一点处的极限值等于该函数在该点处的函数值，则表明该函数在此点处连续.

问题

根据应用洛必达法则的前提条件，在使用洛必达法则的时候，要遵循的【结论】是什么？

选项

[A].

lim_{x \to x_{0} (x \to \infty)}

\frac{f (x)}{g (x)}

=

lim_{x \to x_{0} (x \to \infty)}

\frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}

[B].

lim_{x \to x_{0} (x \to \infty)}

\frac{f (x)}{g (x)}

=

1

[C].

lim_{x \to x_{0} (x \to \infty)}

\frac{f (x)}{g (x)}

=

lim_{x \to x_{0} (x \to \infty)}

- \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}

[D].

lim_{x \to x_{0} (x \to \infty)}

\frac{f (x)}{g (x)}

=

lim_{x \to x_{0} (x \to \infty)}

\frac{g^{'} (x)}{f^{'} (x)}

答案

$lim_{x \to x_{0} (x \to \infty)}$ $\frac{f (x)}{g (x)}$ $=$ $lim_{x \to x_{0} (x \to \infty)}$ $\frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}$
Tips: 对于可以应用洛必达法则的式子，应用洛必达法则（即对原式的分子和分母同时求导）之后并不会改变原式的极限值，因此，可以借助洛必达法则，简化对原式极限值的计算.

应用洛必达法则的三个前提条件（B001）

问题

对于式子

lim_{x \to x_{0} (x \to \infty)}

\frac{f (x)}{g (x)}

而言，下列选项中，哪些符合对该式【应用洛必达法则的前提条件】？

选项

[A].

lim_{x \to x_{0} (x \to \infty)}

f (x)

=

0

且

lim_{x \to x_{0} (x \to \infty)}

g (x)

=

\infty

[B].

g^{‘} (x)

=

0

[C].

lim_{x \to x_{0} (x \to \infty)}

\frac{f^{‘} (x)}{g^{‘} (x)}

不存在

[D].

g^{‘} (x)

=

1

[E].

lim_{x \to x_{0} (x \to \infty)}

g (x)

=

\infty

且

lim_{x \to x_{0} (x \to \infty)}

f (x)

=

\infty

答案

1. 当 $x$ $\to$ $0$ 或 $x$ $\to$ $\infty$ 时， $f (x)$ 和 $g (x)$ 【都趋于零】或者【都趋于无穷大】;
2. $f (x)$ 和 $g (x)$ 在 $x$ $\to$ $0$ 或 $x$ $\to$ $\infty$ 时【可导】，且【 $g^{‘} (x)$ $\neq$ $0$ 】;
3. 极限 $lim_{x \to x_{0} (x \to \infty)}$ $\frac{f^{‘} (x)}{g^{‘} (x)}$ 【存在】或者为【无穷大】.

$\arcsin x$ $-$ $\arctan x$ 的等价无穷小（B001）

问题

当

x

\to

0

时，以下哪些选项是【

\arcsin x

-

\arctan x

的等价无穷小】？

选项

[A].

\frac{1}{3} x

[B].

\frac{1}{3} x^{3}

[C].

\frac{1}{2} x^{3}

[D].

\frac{1}{2} x^{2}

答案

$\arcsin x$ $-$ $\arctan x$ $\sim$ $\frac{1}{2} x^{3}$

高等数学中常用的等价无穷小：

（点击下方按钮查看详情，灰色按钮对应当前页面）