标签： 高等数学基础

一、前言

三角函数的二倍角公式（$\sin 2x$, $\cos 2x$, $\tan 2x$, $\cot 2x$）很常用，三角函数的三倍角公式在求解一些题目的时候，也是一个非常有用的工具。在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们整理出一份常用的三角函数三倍角公式。

继续阅读“三角函数的三倍角公式”

一、题目

求下面函数的 $n$ 阶导数：

$$
\begin{aligned}
y_{1} & = \sin x \\
y_{2} & = \cos x \\
y_{3} & = \frac{1}{x + 1}
\end{aligned}
$$

难度评级：

继续阅读“用归纳法求函数的 $n$ 阶导数（附 $\sin$ 与 $\cos$ 的 $n$ 阶导公式）”

一、题目

继续阅读“被积函数有 4 次幂的时候，先尝试凑 2 次幂”

一、题目

已知 $f(x,y,z)$ $=$ $\left( \frac{x}{y} \right)^{\frac{1}{z}}$, 则：

$$
\mathrm{d} f(1,1,1) = ?
$$

难度评级：

继续阅读“三元函数全微分的计算：比二元多一元”

题目一：两个变量的三元函数

已知函数 $u$ $=$ $f \left( x + y , x y , \frac { x } { y } \right)$, 求 $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2} }$, $\frac { \partial^{2} u }{ \partial x \partial y }$, $\frac{ \partial^{2} u }{\partial y^{2}}$.

其中，$f$ 具有二阶连续偏导数。

难度评级：

继续阅读“二阶偏导数求导对比：两个变量的三元函数和三个变量的二元函数”

一、题目

$$
\begin{aligned}
I_{1} = & \ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+2}{x + 1} \right)^{2x + \textcolor{orangered}{2}} = ? \\ \\
I_{2} = & \ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+2}{x+1} \right)^{2x + \textcolor{orangered}{1}} = ?
\end{aligned}
$$

难度评级：

继续阅读“在无穷大条件下，幂指函数的“幂”增减一个常数不会影响最终的结果”

一、前言

求和符号是我们在考研数学中很常见到的一个符号，常见的求和符号写法如下：

$$
\sum_{i=1}^{n=16}
$$

或者：

$$
\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n}
$$

那么，我们应该怎么理解上面这个求和符号呢？以及该怎么让求和符合参与到具体的计算中呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们讲解一下这个问题。

继续阅读“求和符号中的 $i$ 和 $n$ 有啥区别？”

一、前言

在考研数学中，用定积分的定义求解某些定积分或者数列的值，是一种很常见的考题。

假如我们要用定积分的定义求解区间 $[a, b]$ 上的积分值，我们应该以什么样的方式划分 $[a, b]$ 这个区间呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们讲一讲上面这个问题。

继续阅读“用定积分的定义求解时怎么进行积分区间的分割？”

一、前言

我们知道，在题目的计算过程中，如果式子是分式，就有可能不利于我们进行计算。所以，为了简化计算，我们一般更倾向于简化分式中的分母，从而使该分式更接近于一般的式子，例如简化分母的次幂或者降低分母的复杂度。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将给大家带来对于含有对数函数的分式的一种“去分母”解法。

继续阅读“含有对数函数的分式怎么计算”

一、前言

在高等数学（考研数学）中，我们为了判断某些题目，可能需要举一些反例，而在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们带来三种比较特殊的函数，这些函数也是我们在寻找反例的时候，很容易用上的工具。

继续阅读“考研数学中需要注意的三种特殊的函数”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们带来有关分块矩阵的秩的有关结论与多种证明方法。

继续阅读“分块矩阵的秩相关公式及实战化解释”

一、前言

已知 $x_{1}$, $x_{2}$, $\cdots$, $x_{n}$ 为 $n$ 个非负实数，则其几何平均值 $\sqrt[n]{x_{1} \times x_{2} \times \cdots \times x_{n}}$ 一定小于或等于其算术平均值 $\frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n}$, 即：

$$
\begin{aligned}
& \sqrt[n]{x_{1} \times x_{2} \times \cdots \times x_{n}} \leqslant \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{ \ \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}} \leqslant \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} }
\end{aligned}
$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用数学归纳法和递推法两种方法为同学们证明上述不等式。

继续阅读“平均值不等式的详细证明过程”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过数字在乘法和减法中“牵制”能力的区别，简易地证明下式（数字的平均值相乘大于或等于每个数字相乘）：

$$
\textcolor{yellow}{
\left( \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} \right)^{n} \geqslant x_{1} \times x_{2} \times \cdots \times x_{n}
}
$$

为了更便于理解，同学们可以将本文中的“牵制”理解为“拖累”——小数字对大数字的“拖累”效果在乘法中比在减法中变现更突出。

继续阅读“证明：数字的平均值相乘一定不小于每个数字相乘——小数字在乘法中对大数字的“牵制”程度比减法中严重”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过计算下面三个式子的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ 的方式，给同学们讲清楚在对幂指函数求导时，什么时候用“$\mathrm{e}$ 抬起”，什么时候用“$\ln$ 落下”：

$$
\begin{aligned}
① \quad y = & \ x ^{\sin x} \\
② \quad y = & \ x^{\cos x} + x^{x} \\
③ \quad y = & \ x^{\cos x} \cdot x^{\sin x}
\end{aligned}
$$

继续阅读“幂指函数的求导策略：什么时候用“$\mathrm{e}$ 抬起”？什么时候用“$\ln$ 落下”？”