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$e^{x}$ 的麦克劳林公式

完整版：
$e^{x}$ $=$ $1$ $+$ $x$ $+$ $\frac{x^{2}}{2!}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{x^{n}}{n!}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$

求和版：
$e^{x}$ $=$ $\sum_{n = 0}^{\infty}$ $\frac{x^{n}}{n!}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$

简略版：
$e^{x}$ $=$ $1$ $+$ $x$ $+$ $\frac{1}{2}x^{2}$ $+$ $\frac{1}{6}x^{3}$ $+$ $\omicron (x^{3})$ $.$

与等价无穷小的关系：当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，$e^{x}$ $-$ $1$ $\sim$ $x$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $e^{x}$ $\sim$ $1$ $+$ $x$.

$f(x)$ $=$ $\sum_{k=0}^{n}$ $\frac{f^{(k)} (x_{0})}{k!}$ $\cdot$ $(x – x_{0})^{k}$ $+$ $R_{n}(x)$ $\color{Red}{\Rightarrow}$

$f(x)$ $=$ $\frac{f(x_{0})}{0!}$ $\cdot$ $(x – x_{0})^{0}$ $+$ $\frac{f'(x_{0})}{1!}$ $\cdot$ $(x – x_{0})$ $+$ $\frac{f”(x_{0})}{2!}$ $\cdot$ $(x – x_{0})^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}$ $\cdot$ $(x-x_{0})^{n}$ $+$ $R_{n}(x).$

备注：$0!$ $=$ $1!$ $=$ $x^{0}$ $=$ $1$.

$\frac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)}$ $=$ $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$

$f(x_{0} + \Delta x)$ $-$ $f(x_{0})$ $=$ $f'(x_{0} + \theta \Delta x)$ $\cdot$ $\Delta x$ $\color{Red}{\Rightarrow}$
$\frac{f(x_{0} + \Delta x) – f(x_{0})}{\Delta x}$ $=$ $f'(x_{0} + \theta \Delta x)$, 其中 $0$ $<$ $\theta$ $<$ $1$.

说明：$\theta$ 的取值在 $0$ 到 $1$ 之间，可以保证 $x_{0} + \theta \Delta x$ 的取值在 $x_{0}$ 到 $x_{0} + \Delta x$ 之间.

$\frac{f(b) – f(a)}{b – a}$ $=$ $f'(\xi)$

存在 $\xi$ $\in$ $(a,b)$, 使得 $f'(\xi)$ $=$ $0$.

$f'(x_{0})$ $=$ $0$

说明：如果函数上某个点不是区间的端点，而且是该区间上的最高点或最低点，则该点处的切线一定是水平的，即导函数值为零.

换一种说法就是：可导函数的极值点一定是驻点.

$\begin{cases} & y” > 0 \Rightarrow y \ 凹; \\ & y” < 0 \Rightarrow y \ 凸; \\ & y” = 0 \Rightarrow y \ 不凹不凸 \end{cases}$

$\begin{cases} & y’ > 0 \Rightarrow y \ 单调递增; \\ & y’ < 0 \Rightarrow y \ 单调递减; \\ & y’ = 0 \Rightarrow y \ 不增不减. \end{cases}$

$y”$ $=$ $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}$ $=$ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}$ $\cdot$ $(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x})$ $\color{Red}{\Rightarrow}$

$\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}$ $=$ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}$ $\cdot$ $(\frac{b'(t)}{a'(t)})$ $\cdot$ $\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$

$\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}$ $=$ $\frac{b”(t) a'(t) – b'(t) a”(t)}{a’^{2}(t)}$ $\cdot$ $\frac{1}{a'(t)}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$

$\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}$ $=$ $\frac{b”(t) a'(t) – b'(t) a”(t)}{a’^{3}(t)}.$

$y’$ $=$ $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ $=$ $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$ $\cdot$ $\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}$ $=$ $\frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}}$ $=$ $\frac{b'(t)}{a'(t)}$

$y’$ $=$ $\frac{- F’_{x}}{F’_{y}}$

解释：
要对隐函数 $F(x,y)$ $=$ $0$ 求导，只需要在该函数的两边对 $x$ 求导，同时将 $y$ 看作中间变量，用复合函数的求导公式完成对 $y$ 中包含的 $x$ 的求导，过程如下：
$F’_{x}$ $+$ $F’_{y}$ $\cdot$ $\frac{\rm{d} y}{\rm{d} x}$ $=$ $0$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $\frac{\rm{d} y}{\rm{d} x}$ $=$ $\frac{- F’_{x}}{F’_{y}}$

$F(x, y)$ $=$ $0$

说明：
所谓隐函数就是不能将自变量 $x$ 和因变量 $y$ 拆分开放在等号两边的函数，这类函数一般写成 $F(x, y)$ $=$ $0$ 的形式.

例如，$e^{x}$ $-$ $xy$ $-$ $1$ $=$ $0$ 就是一个隐函数，其函数图像如下图所示：

将原函数中的自变量 $x$ 和因变量 $y$ 调换位置后，所得到的函数就是反函数，例如，函数 $y$ $=$ $x^{3}$ 的反函数是 $x$ $=$ $y^{3}$. 如果将反函数 $x$ $=$ $y^{3}$ 写成通常的形式，就是：$y$ $=$ $x^{\frac{1}{3}}$.

示例图：
红色曲线表示函数 $y$ $=$ $x^{3}$, 绿色曲线表示其反函数 $x$ $=$ $y^{3}$:

$\phi'(y)$ $=$ $\frac{\rm{d} x}{\rm{d} y}$ $=$ $\frac{1}{\frac{\rm{d} y}{\rm{d} x}}$ $=$ $\frac{1}{f'(x)}$