$\ln(1+x)$ 的麦克劳林公式(B004)

问题

$\ln(1+x)$ 在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的【麦克劳林公式】是什么?
说明:下面所有选项中 $x$ 的取值范围都是:$(-1, 1]$ $.$

选项

[A].   $x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n-1}$ $\cdot$ $\frac{x^{n}}{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$

[B].   $x$ $+$ $\frac{x^{2}}{2}$ $-$ $\frac{x^{3}}{3}$ $+$ $\cdots$ $-$ $(-1)^{n-1}$ $\cdot$ $\frac{x^{n}}{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$

[C].   $x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n-1}$ $\cdot$ $\frac{x^{n-1}}{n-1}$ $+$ $\omicron (x^{n})$

[D].   $x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $\frac{x^{n}}{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$


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$\ln(1+x)$ 的麦克劳林公式

完整版:

$\ln(1+x)$ $=$ $x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n-1}$ $\cdot$ $\frac{x^{n}}{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $,$ 从 $n$ $=$ $1$ 开始 $.$

或者:

$\ln(1+x)$ $=$ $x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $,$ 从 $n$ $=$ $0$ 开始 $.$

求和版:

$\ln(1+x)$ $=$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $(-1)^{n-1}$ $\cdot$ $\frac{x^{n}}{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$

或者:

$\ln(1+x)$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$

简略版:

$\ln(1+x)$ $=$ $x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{3}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$

与等价无穷小的关系:当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时,$\ln(1+x)$ $\sim$ $x$ $.$

辅助图像:
ln(1+x) 的麦克劳林公式 | 荒原之梦
图 01. 红色曲线表示 $\ln(1+x)$ 的图像,蓝色曲线表示 $\ln(1+x)$ 对应的麦克劳林公式前三项的图像,可以看到,二者在 $x$ $=$ $0$ 附近几乎完全重合.

常用的麦克劳林公式: