参数方程求二阶导的方法（B003）

问题

设有参数方程

{\begin{cases} x = a (t), \\ y = b (t) \end{cases}

, 该参数方程所确定的函数为

y

=

y (x)

, 其中

a^{'} (t)

和

b^{'} (t)

以及

a ” (t)

和

b ” (t)

均存在，且

a^{'} (t)

\neq

0

, 则该参数方程的二阶导数

y ”

=

?

[A].

\frac{b ” (t) a^{'} (t) - b^{'} (t) a ” (t)}{a^{' 2} (t)}

[B].

\frac{b ” (t) a^{'} (t) - b^{'} (t) a ” (t)}{a^{' 3} (t)}

[C].

\frac{b ” (t) a^{'} (t) + b^{'} (t) a ” (t)}{a^{' 3} (t)}

[D].

\frac{b ” (t) a^{'} (t) - b^{'} (t) a ” (t)}{a^{'} (t)}

$y ”$ $=$ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ $=$ $\frac{d}{d x}$ $\cdot$ $(\frac{d y}{d x})$ $\Rightarrow$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ $=$ $\frac{d}{d t}$ $\cdot$ $(\frac{b^{'} (t)}{a^{'} (t)})$ $\cdot$ $\frac{d t}{d x}$ $\Rightarrow$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ $=$ $\frac{b ” (t) a^{'} (t) - b^{'} (t) a ” (t)}{a^{' 2} (t)}$ $\cdot$ $\frac{1}{a^{'} (t)}$ $\Rightarrow$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ $=$ $\frac{b ” (t) a^{'} (t) - b^{'} (t) a ” (t)}{a^{' 3} (t)} .$