$(1+x)^{a}$ 的麦克劳林公式(B004)

问题

$(1+x)^{a}$ 在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的【麦克劳林公式】是什么?

说明:下面所有选项中 $x$ 的取值范围都是:$(-\infty, +\infty)$

选项

[A].   $1$ $-$ $ax$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2!}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n!}$ $\cdot$ $x^{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$

[B].   $1$ $+$ $ax$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2!}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{(n+1)!}$ $\cdot$ $x^{n+1}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$

[C].   $x$ $+$ $ax$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2!}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n!}$ $\cdot$ $x^{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$

[D].   $1$ $+$ $ax$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2!}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n!}$ $\cdot$ $x^{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$


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$(1+x)^{a}$ 的麦克劳林公式

完整版:

$(1+x)^{a}$ $=$ $1$ $+$ $ax$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2!}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n!}$ $\cdot$ $x^{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$

求和版:

$(1+x)^{a}$ $=$ $1$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n!}$ $\cdot$ $x^{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$

简略版:

$(1+x)^{a}$ $=$ $1$ $+$ $ax$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2!}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$

与等价无穷小的关系:当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时,$(1+x)^{a}$ $\sim$ $1$ $+$ $ax$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $(1+x)^{a}$ $-$ $1$ $\sim$ $ax$$.$

辅助图像:
(1+x)^{a} 的麦克劳林公式 | 荒原之梦
图 01. 当 $a$ $=$ $2$ 时,红色曲线表示 $(1+x)^{a}$ 的图像,蓝色曲线表示 $(1+x)^{a}$ 对应的麦克劳林公式前两项的图像,可以看到,二者在 $x$ $=$ $0$ 附近几乎完全重合.

常用的麦克劳林公式: