$\tan x$ 的麦克劳林公式（B004）

问题

$\tan x$ 在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的【麦克劳林公式】是什么？

说明：

1. 下面所有选项中 $x$ 的取值范围都是：$(-1, 1)$
2. 本题中的 $B_{2n}$ 表示伯努利数，有关伯努利数的详情可以查看荒原之梦网的这篇文章：常见的伯努利数汇总.

   选项

   [A].   $1$ $+$ $x$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{2}{15}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$
   
   [B].   $x$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{2}{15}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n+1}$
   
   [C].   $x$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{2}{15}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$
   
   [D].   $x$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{1}{15}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$
   
   
   
      答 案   

   
   

   $\tan x$ 的麦克劳林公式

   完整版：
   
   $\tan x$ $=$ $x$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{2}{15}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$ $.$

   求和版：
   
   $\tan x$ $=$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$ $.$

   简略版：
   
   $\tan x$ $=$ $x$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{2}{15}$ $\cdot$ $x^{5}$ $.$

   与等价无穷小的关系：当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，$\tan x$ $\sim$ $x$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $\tan x$ $-$ $x$ $\sim$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $,$ $\tan x$ $\sim$ $x$ $.$

辅助图像：

常用的麦克劳林公式：