$\csc x$ 的麦克劳林公式(B004)

问题

$\csc x$ 在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的【麦克劳林公式】是什么?

说明:

  1. 下面所有选项中 $x$ 的取值范围都是:$(0, \pi)$
  2. 式子中的 $B_{2n}$ 表示“伯努利数”,关于伯努利数的详情可以参考荒原之梦网的这篇文章:《常见的伯努利数汇总》.

    选项

    [A].   $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{7}{360}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}+1)B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n+1}$

    [B].   $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{7}{306}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$

    [C].   $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{7}{360}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$

    [D].   $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{7}{360}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n}$



    显示答案

    $\csc x$ 的麦克劳林公式

    完整版:

    $\csc x$ $=$ $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{7}{360}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$ $.$

    求和版:

    $\csc x$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$ $.$

    简略版:

    $\csc x$ $=$ $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{7}{360}$ $\cdot$ $x^{3}$ $.$

辅助图像:
csc x 的麦克劳林公式 | 荒原之梦
图 01. 红色曲线表示 $\csc x$ 的图像,蓝色曲线表示 $\csc x$ 对应的麦克劳林公式前两项的图像,可以看到,二者在 $x$ $=$ $0$ 附近几乎完全重合.

常用的麦克劳林公式: