$\csc x$ 的麦克劳林公式（B004）

问题

$\csc x$ 在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的【麦克劳林公式】是什么？

说明：

1. 下面所有选项中 $x$ 的取值范围都是：$(0, \pi)$
2. 式子中的 $B_{2n}$ 表示“伯努利数”，关于伯努利数的详情可以参考荒原之梦网的这篇文章：《常见的伯努利数汇总》.
   

   选项

   [A].   $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{7}{360}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n}$
   
   [B].   $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{7}{360}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}+1)B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n+1}$
   
   [C].   $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{7}{306}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$
   
   [D].   $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{7}{360}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$
   
   
   
      答 案   

   
   

   $\csc x$ 的麦克劳林公式

   完整版：
   
   $\csc x$ $=$ $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{7}{360}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$ $.$

   求和版：
   
   $\csc x$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$ $.$

   简略版：
   
   $\csc x$ $=$ $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{7}{360}$ $\cdot$ $x^{3}$ $.$

辅助图像：

常用的麦克劳林公式：