二阶导与函数的凹凸性（B003）

问题

已知，【二阶】导函数 $y”$ 的【正负】能够反映原函数 $y$ 的【凹凸性】，则以下说法正确的是哪一项？

选项

[A].   $\begin{cases} & y” > 0 \Rightarrow y \ 凹; \\ & y” < 0 \Rightarrow y \ 不凹不凸; \end{cases}$


[B].   $\begin{cases} & y” > 0 \Rightarrow y \ 凸; \\ & y” < 0 \Rightarrow y \ 凹; \end{cases}$


[C].   $\begin{cases} & y” > 0 \Rightarrow y \ 凹; \\ & y” < 0 \Rightarrow y \ 凸; \end{cases}$


[D].   $\begin{cases} & y” > 0 \Rightarrow y \ 不凹不凸; \\ & y” < 0 \Rightarrow y \ 凸; \end{cases}$

   答 案   

$\begin{cases} & y” > 0 \Rightarrow y \ 凹; \\ & y” < 0 \Rightarrow y \ 凸; \\ & y” = 0 \Rightarrow y \ 不凹不凸 \end{cases}$

注意：

利用二阶导函数判断曲线凹凸性的前提是：函数在对应的闭区间内连续，在对应的开区间内二阶可导——例如，函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 内具有二阶导函数，此时，我们就可以利用函数 $f(x)$ 的二阶导函数 $f”(x)$ 判断其在区间 $[a, b]$ 上的凹凸性了。