$\arctan x$ 的麦克劳林公式(B004)

问题

$\arctan x$ 在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的【麦克劳林公式】是什么?

说明:下面所有选项中 $x$ 的取值范围都是:$[-1, 1]$

选项

[A].   $1$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{1}{5}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n}}{2n+1}$ $\cdot$ $x^{2n+1}$

[B].   $x$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{1}{5}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n}}{2n+1}$ $\cdot$ $x^{2n+1}$

[C].   $1$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $-$ $\frac{1}{5}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n}}{2n}$ $\cdot$ $x^{2n}$

[D].   $x$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{1}{5}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n}}{2n-1}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$


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$\arctan x$ 的麦克劳林公式

完整版:

$\arctan x$ $=$ $x$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{1}{5}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n}}{2n+1}$ $\cdot$ $x^{2n+1}$ $.$

求和版:

$\arctan x$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{(-1)^{n}}{2n+1}$ $\cdot$ $x^{2n+1}$ $.$

简略版:

$\arctan x$ $=$ $x$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{1}{5}$ $\cdot$ $x^{5}$ $.$

与等价无穷小的关系:当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时,$\arctan x$ $\sim$ $x$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $x$ $-$ $\arctan x$ $\sim$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $.$

辅助图像:
arctan x 的麦克劳林公式 | 荒原之梦
图 01. 红色曲线表示 $\arctan x$ 的图像,蓝色曲线表示 $\arctan x$ 对应的麦克劳林公式前三项的图像,可以看到,二者在 $x$ $=$ $0$ 附近几乎完全重合.

常用的麦克劳林公式: