费马引理（B004）

问题

设函数 $f(x)$ 在邻域 $U(x_{0})$ 内有定义，并且在点 $x_{0}$ 处可导，如果对于任意 $x_{0}$ $\in$ $U(x_{0})$, 都有 $f(x)$ $\leqslant$ $f(x_{0})$ 或 $f(x)$ $\geqslant$ $f(x_{0})$, 则根据【费马引理】可知，下列哪个选项是正确的？

选项

[A].   $f(x_{0})$ $=$ $0$

[B].   $f'(x_{0})$ $=$ $0$

[C].   $f(x_{0})$ $=$ $1$

[D].   $f'(x_{0})$ $=$ $1$

   答 案   

$f'(x_{0})$ $=$ $0$

说明：如果函数上某个点不是区间的端点，而且是该区间上的最高点或最低点，则该点处的切线一定是水平的，即导函数值为零.

换一种说法就是：可导函数的极值点一定是驻点.