标签： 高等数学基础

问题

已知，函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某个领域 $U(x_{0})$ 内有定义，$x$ 表示点 $x_{0}$ 的去心邻域 $\mathring{U_{x_{0}}}$ 内的任意一点.
那么，根据【函数极值的定义】，下面哪些选项是正确的？

选项

[A].   $f(x)$ $\leqslant$ $f(x_{0})$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x_{0})$ 是一个极大值

[B].   $f(x)$ $>$ $f(x_{0})$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x_{0})$ 是一个极小值

[C].   $f(x)$ $\geqslant$ $f(x_{0})$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x_{0})$ 是一个极小值

[D].   $f(x)$ $<$ $f(x_{0})$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x_{0})$ 是一个极大值.

[E].   $f(x)$ $<$ $f(x_{0})$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x_{0})$ 是一个极小值

[F].   $f(x)$ $>$ $f(x_{0})$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x_{0})$ 是一个极大值

   答 案   

$f(x)$ $<$ $f(x_{0})$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x_{0})$ 是一个极大值.
$f(x)$ $>$ $f(x_{0})$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x_{0})$ 是一个极小值.

问题

以下关于【函数极值】的说法中，正确的是哪个？

选项

[A].   函数的极值就是极大值

[B].   函数的极值包括极大值和极小值

[C].   函数的极值就是极小值

[D].   函数的极值就是最大值

   答 案   

函数的极值包括“极大值”和“极小值”.

关于函数极值的更多内容，可以参考荒原之梦网的这篇文章：《什么是极值点和最值点？》

问题

$\cot x$ 在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的【麦克劳林公式】是什么？

说明：

1. 下面所有选项中 $x$ 的取值范围都是：$(0, \pi)$
2. 式子中的 $B_{2n}$ 表示“伯努利数”，关于伯努利数的详情可以参考荒原之梦网的这篇文章：《常见的伯努利数汇总》.
   

   选项

   [A].   $\frac{1}{x}$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x$ $-$ $\frac{1}{45}$ $\cdot$ $x^{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n} 2^{2n} B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$
   
   [B].   $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{1}{45}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n} 2^{2n-1} B_{2n}}{(2n-1)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$
   
   [C].   $\frac{1}{x}$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x$ $-$ $\frac{1}{45}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n} 2^{2n+1} B_{n}}{(2n+1)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$
   
   [D].   $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{1}{45}$ $\cdot$ $x^{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n} 2^{2n} B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$
   
   
   
      答 案   

   
   

   $\cot x$ 的麦克劳林公式

   完整版：
   
   $\cot x$ $=$ $\frac{1}{x}$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x$ $-$ $\frac{1}{45}$ $\cdot$ $x^{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n} 2^{2n} B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$ $.$

   求和版：
   
   $\cot x$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{(-1)^{n} 2^{2n} B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$ $.$

   简略版：
   
   $\cot x$ $=$ $\frac{1}{x}$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x$ $-$ $\frac{1}{45}$ $\cdot$ $x^{3}$ $.$

辅助图像：

常用的麦克劳林公式：

问题

$\csc x$ 在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的【麦克劳林公式】是什么？

说明：

1. 下面所有选项中 $x$ 的取值范围都是：$(0, \pi)$
2. 式子中的 $B_{2n}$ 表示“伯努利数”，关于伯努利数的详情可以参考荒原之梦网的这篇文章：《常见的伯努利数汇总》.
   

   选项

   [A].   $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{7}{360}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}+1)B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n+1}$
   
   [B].   $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{7}{306}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$
   
   [C].   $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{7}{360}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$
   
   [D].   $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{7}{360}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n}$
   
   
   
      答 案   

   
   

   $\csc x$ 的麦克劳林公式

   完整版：
   
   $\csc x$ $=$ $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{7}{360}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$ $.$

   求和版：
   
   $\csc x$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$ $.$

   简略版：
   
   $\csc x$ $=$ $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{7}{360}$ $\cdot$ $x^{3}$ $.$

辅助图像：

常用的麦克劳林公式：

问题

$\sec x$ 在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的【麦克劳林公式】是什么？

说明：

1. 下面所有选项中 $x$ 的取值范围都是：$(\frac{- \pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
2. 式子中的 $E_{2n}$ 表示“欧拉数”，关于欧拉数的详情可以查看荒原之梦网的这篇文章：《常见的欧拉数取值》

   选项

   [A].   $1$ $+$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{5}{24}$ $\cdot$ $x^{4}$ $+$ $\frac{61}{720}$ $\cdot$ $x^{6}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n}E_{2n}}{(2n-1)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$
   
   [B].   $x$ $+$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{5}{24}$ $\cdot$ $x^{4}$ $+$ $\frac{61}{720}$ $\cdot$ $x^{6}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n}$
   
   [C].   $1$ $+$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{5}{24}$ $\cdot$ $x^{4}$ $+$ $\frac{61}{720}$ $\cdot$ $x^{6}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n}$
   
   [D].   $1$ $+$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{5}{24}$ $\cdot$ $x^{4}$ $+$ $\frac{61}{720}$ $\cdot$ $x^{6}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n}$
   
   
   
      答 案   

   
   

   $\sec x$ 的麦克劳林公式

   完整版：
   
   $\sec x$ $=$ $1$ $+$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{5}{24}$ $\cdot$ $x^{4}$ $+$ $\frac{61}{720}$ $\cdot$ $x^{6}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n}$ $.$

   求和版：
   
   $\sec x$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n}$ $.$

   简略版：
   
   $\sec x$ $=$ $1$ $+$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{5}{24}$ $\cdot$ $x^{4}$ $.$
   

辅助图像：

常用的麦克劳林公式：

问题

$\arcsin x$ 在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的【麦克劳林公式】是什么？

说明：下面所有选项中 $x$ 的取值范围都是：$(-1, 1)$

选项

[A].   $x$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{3}{40}$ $\cdot$ $x^{6}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n-1)}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$

[B].   $x$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{3}{10}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}$ $\cdot$ $x^{2n+1}$

[C].   $1$ $+$ $x$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{3}{40}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n)}$ $\cdot$ $x^{2n}$

[D].   $x$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{3}{40}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}$ $\cdot$ $x^{2n+1}$

   答 案   

$\arcsin x$ 的麦克劳林公式

完整版：

$\arcsin x$ $=$ $x$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{3}{40}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}$ $\cdot$ $x^{2n+1}$ $.$

求和版：

$\arcsin x$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}$ $.$

简略版：

$\arcsin x$ $=$ $x$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{3}{40}$ $\cdot$ $x^{5}$ $.$

与等价无穷小的关系：当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，

$\arcsin x$ $\sim$ $x$ $.$

$\arcsin x$ $\sim$ $x$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $\arcsin x$ $-$ $x$ $\sim$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x^{3}$ $.$

辅助图像：

常用的麦克劳林公式：

问题

$\arctan x$ 在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的【麦克劳林公式】是什么？

说明：下面所有选项中 $x$ 的取值范围都是：$[-1, 1]$

选项

[A].   $x$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{1}{5}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n}}{2n-1}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$

[B].   $1$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{1}{5}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n}}{2n+1}$ $\cdot$ $x^{2n+1}$

[C].   $x$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{1}{5}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n}}{2n+1}$ $\cdot$ $x^{2n+1}$

[D].   $1$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $-$ $\frac{1}{5}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n}}{2n}$ $\cdot$ $x^{2n}$

   答 案   

$\arctan x$ 的麦克劳林公式

完整版：

$\arctan x$ $=$ $x$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{1}{5}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n}}{2n+1}$ $\cdot$ $x^{2n+1}$ $.$

求和版：

$\arctan x$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{(-1)^{n}}{2n+1}$ $\cdot$ $x^{2n+1}$ $.$

简略版：

$\arctan x$ $=$ $x$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{1}{5}$ $\cdot$ $x^{5}$ $.$

与等价无穷小的关系：当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，$\arctan x$ $\sim$ $x$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $x$ $-$ $\arctan x$ $\sim$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $.$

辅助图像：

常用的麦克劳林公式：

问题

$\frac{1}{1+x}$ 在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的【麦克劳林公式】是什么？

说明：下面所有选项中 $x$ 的取值范围都是：$(-1, 1)$

选项

[A].   $1$ $-$ $x$ $+$ $x^{2}$ $-$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $x^{n+1}$

[B].   $x$ $+$ $x^{2}$ $-$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $x^{n}$

[C].   $1$ $-$ $x$ $+$ $x^{2}$ $-$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $x^{n}$

[D].   $x$ $-$ $x^{2}$ $+$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $x^{n-1}$

   答 案   

$\frac{1}{1+x}$ 的麦克劳林公式

完整版：

$\frac{1}{1+x}$ $=$ $1$ $-$ $x$ $+$ $x^{2}$ $-$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $x^{n}$ $.$

求和版：

$\frac{1}{1+x}$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $x^{n}$ $.$

简略版：

$\frac{1}{1+x}$ $=$ $1$ $-$ $x$ $+$ $x^{2}$ $-$ $x^{3}$ $.$

$\frac{1}{1+x}$ 的麦克劳林公式其实就是当 $a$ $=$ $-1$ 时，$(1+x)^{a}$ 的麦克劳林公式.

辅助图像：

常用的麦克劳林公式：

问题

$\frac{1}{1-x}$ 在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的【麦克劳林公式】是什么？

说明：下面所有选项中 $x$ 的取值范围都是：$(-1, 1)$

选项

[A].   $1$ $+$ $x$ $+$ $x^{2}$ $+$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $x^{n+1}$

[B].   $x$ $+$ $x^{2}$ $+$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $x^{n}$

[C].   $1$ $+$ $x$ $+$ $x^{2}$ $+$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $x^{n}$

[D].   $x$ $+$ $x^{2}$ $+$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $x^{n-1}$

   答 案   

$\frac{1}{1-x}$ 的麦克劳林公式

完整版：

$\frac{1}{1-x}$ $=$ $1$ $+$ $x$ $+$ $x^{2}$ $+$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $x^{n}$ $.$

求和版：

$\frac{1}{1-x}$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $x^{n}$ $.$

简略版：

$\frac{1}{1-x}$ $=$ $1$ $+$ $x$ $+$ $x^{2}$ $+$ $x^{3}$ $.$

$\frac{1}{1-x}$ 的麦克劳林公式其实就是当 $a$ $=$ $-1$ 时，$(1+x)^{a}$ 的麦克劳林公式.

辅助图像：

常用的麦克劳林公式：

问题

$\tan x$ 在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的【麦克劳林公式】是什么？

说明：

1. 下面所有选项中 $x$ 的取值范围都是：$(-1, 1)$
2. 本题中的 $B_{2n}$ 表示伯努利数，有关伯努利数的详情可以查看荒原之梦网的这篇文章：常见的伯努利数汇总.

   选项

   [A].   $x$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{2}{15}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$
   
   [B].   $x$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{1}{15}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$
   
   [C].   $1$ $+$ $x$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{2}{15}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$
   
   [D].   $x$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{2}{15}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n+1}$
   
   
   
      答 案   

   
   

   $\tan x$ 的麦克劳林公式

   完整版：
   
   $\tan x$ $=$ $x$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{2}{15}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$ $.$

   求和版：
   
   $\tan x$ $=$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$ $.$

   简略版：
   
   $\tan x$ $=$ $x$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{2}{15}$ $\cdot$ $x^{5}$ $.$

   与等价无穷小的关系：当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，$\tan x$ $\sim$ $x$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $\tan x$ $-$ $x$ $\sim$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $,$ $\tan x$ $\sim$ $x$ $.$

辅助图像：

常用的麦克劳林公式：

问题

$(1+x)^{a}$ 在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的【麦克劳林公式】是什么？

说明：下面所有选项中 $x$ 的取值范围都是：$(-\infty, +\infty)$

选项

[A].   $1$ $+$ $ax$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2!}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{(n+1)!}$ $\cdot$ $x^{n+1}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$

[B].   $x$ $+$ $ax$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2!}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n!}$ $\cdot$ $x^{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$

[C].   $1$ $+$ $ax$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2!}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n!}$ $\cdot$ $x^{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$

[D].   $1$ $-$ $ax$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2!}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n!}$ $\cdot$ $x^{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$

   答 案   

$(1+x)^{a}$ 的麦克劳林公式

完整版：

$(1+x)^{a}$ $=$ $1$ $+$ $ax$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2!}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n!}$ $\cdot$ $x^{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$

求和版：

$(1+x)^{a}$ $=$ $1$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n!}$ $\cdot$ $x^{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$

简略版：

$(1+x)^{a}$ $=$ $1$ $+$ $ax$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2!}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$

与等价无穷小的关系：当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，$(1+x)^{a}$ $\sim$ $1$ $+$ $ax$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $(1+x)^{a}$ $-$ $1$ $\sim$ $ax$$.$

辅助图像：

常用的麦克劳林公式：

问题

$\ln(1+x)$ 在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的【麦克劳林公式】是什么？
说明：下面所有选项中 $x$ 的取值范围都是：$(-1, 1]$ $.$

选项

[A].   $x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n-1}$ $\cdot$ $\frac{x^{n}}{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$

[B].   $x$ $+$ $\frac{x^{2}}{2}$ $-$ $\frac{x^{3}}{3}$ $+$ $\cdots$ $-$ $(-1)^{n-1}$ $\cdot$ $\frac{x^{n}}{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$

[C].   $x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n-1}$ $\cdot$ $\frac{x^{n-1}}{n-1}$ $+$ $\omicron (x^{n})$

[D].   $x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $\frac{x^{n}}{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$

   答 案   

$\ln(1+x)$ 的麦克劳林公式

完整版：

$\ln(1+x)$ $=$ $x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n-1}$ $\cdot$ $\frac{x^{n}}{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $,$ 从 $n$ $=$ $1$ 开始 $.$

或者：

$\ln(1+x)$ $=$ $x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $,$ 从 $n$ $=$ $0$ 开始 $.$

求和版：

$\ln(1+x)$ $=$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $(-1)^{n-1}$ $\cdot$ $\frac{x^{n}}{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$

或者：

$\ln(1+x)$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$

简略版：

$\ln(1+x)$ $=$ $x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{3}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$

与等价无穷小的关系：当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，$\ln(1+x)$ $\sim$ $x$ $.$

辅助图像：

常用的麦克劳林公式：

问题

$\cos x$ 在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的【麦克劳林公式】是什么？

说明：下面所有选项中 $x$ 的取值范围都是：$(-\infty, +\infty)$

选项

[A].   $1$ $+$ $\frac{x^{2}}{2!}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{2n}$ $\cdot$ $\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ $+$ $\omicron (x^{2n+1})$

[B].   $1$ $-$ $\frac{x^{2}}{2!}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ $+$ $\omicron (x^{2n+1})$

[C].   $x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2!}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ $+$ $\omicron (x^{2n+1})$

[D].   $1$ $-$ $\frac{x^{2}}{2!}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ $+$ $\omicron (x^{2n+1})$

   答 案   

$\cos x$ 的麦克劳林公式

完整版：

$\cos x$ $=$ $1$ $-$ $\frac{x^{2}}{2!}$ $+$ $\frac{x^{4}}{4!}$ $-$ $\frac{x^{6}}{6!}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ $+$ $\omicron (x^{2n+1})$ $.$

求和版：

$\cos x$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ $+$ $\omicron (x^{2n+1})$ $.$

简略版：

$\cos x$ $=$ $1$ $-$ $\frac{x^{2}}{2!}$ $+$ $\frac{x^{4}}{4!}$ $-$ $\frac{x^{6}}{6!}$ $+$ $\omicron (x^{2n+1})$ $.$

与等价无穷小的关系：当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，$\cos x$ $\sim$ $1$ $-$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $x^{2}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $1$ $-$ $\cos x$ $\sim$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $x^{2}$ $.$

辅助图像：

常用的麦克劳林公式：