问题
$\arcsin x$ 在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的【麦克劳林公式】是什么？说明：下面所有选项中 $x$ 的取值范围都是：$(-1, 1)$
选项
[A]. $x$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{3}{40}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}$ $\cdot$ $x^{2n+1}$[B]. $x$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{3}{40}$ $\cdot$ $x^{6}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n-1)}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$
[C]. $x$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{3}{10}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}$ $\cdot$ $x^{2n+1}$
[D]. $1$ $+$ $x$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{3}{40}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n)}$ $\cdot$ $x^{2n}$
$\arcsin x$ 的麦克劳林公式
完整版：
$\arcsin x$ $=$ $x$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{3}{40}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}$ $\cdot$ $x^{2n+1}$ $.$
求和版：
$\arcsin x$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}$ $.$
简略版：
$\arcsin x$ $=$ $x$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{3}{40}$ $\cdot$ $x^{5}$ $.$
与等价无穷小的关系：当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，
$\arcsin x$ $\sim$ $x$ $.$
$\arcsin x$ $\sim$ $x$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $\arcsin x$ $-$ $x$ $\sim$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x^{3}$ $.$
辅助图像：
