$\tan x$ 的麦克劳林公式（B004）

问题

$\tan x$ 在 $x_0$ $=$ $0$ 处的【麦克劳林公式】是什么？

说明：

1. 下面所有选项中 $x$ 的取值范围都是：$(-1,1)$
2. 本题中的 $B_{2n}$ 表示伯努利数，有关伯努利数的详情可以查看荒原之梦网的这篇文章：常见的伯努利数汇总.

   选项

   [A].   $x$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^3$ $+$ $\frac{2}{15}$ $\cdot$ $x^5$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{B_{2n}(-4{)}^n(1-4^n)}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$
   
   [B].   $x$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^3$ $+$ $\frac{1}{15}$ $\cdot$ $x^5$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-4{)}^n(1-4^n)}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$
   
   [C].   $1$ $+$ $x$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^3$ $+$ $\frac{2}{15}$ $\cdot$ $x^5$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{B_{2n}(-4{)}^n(1-4^n)}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$
   
   [D].   $x$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^3$ $+$ $\frac{2}{15}$ $\cdot$ $x^5$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{B_{2n}(-4{)}^n(1-4^n)}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n+1}$
   
   
   
      答 案   

   
   

   $\tan x$ 的麦克劳林公式

   完整版：
   
   $\tan x$ $=$ $x$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^3$ $+$ $\frac{2}{15}$ $\cdot$ $x^5$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{B_{2n}(-4{)}^n(1-4^n)}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$ $.$

   求和版：
   
   $\tan x$ $=$ $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $\frac{B_{2n}(-4{)}^n(1-4^n)}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$ $.$

   简略版：
   
   $\tan x$ $=$ $x$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^3$ $+$ $\frac{2}{15}$ $\cdot$ $x^5$ $.$

   与等价无穷小的关系：当 $x$ $\to$ $0$ 时，$\tan x$ $\sim$ $x$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^3$ $\Rightarrow$ $\tan x$ $-$ $x$ $\sim$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^3$ $,$ $\tan x$ $\sim$ $x$ $.$

辅助图像：

常用的麦克劳林公式：