问题
$(1+x)^{a}$ 在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的【麦克劳林公式】是什么？说明：下面所有选项中 $x$ 的取值范围都是：$(-\infty, +\infty)$
选项
[A]. $x$ $+$ $ax$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2!}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n!}$ $\cdot$ $x^{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$[B]. $1$ $+$ $ax$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2!}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n!}$ $\cdot$ $x^{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$
[C]. $1$ $-$ $ax$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2!}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n!}$ $\cdot$ $x^{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$
[D]. $1$ $+$ $ax$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2!}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{(n+1)!}$ $\cdot$ $x^{n+1}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$
$(1+x)^{a}$ 的麦克劳林公式
完整版：
$(1+x)^{a}$ $=$ $1$ $+$ $ax$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2!}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n!}$ $\cdot$ $x^{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$
求和版：
$(1+x)^{a}$ $=$ $1$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n!}$ $\cdot$ $x^{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$
简略版：
$(1+x)^{a}$ $=$ $1$ $+$ $ax$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2!}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$
与等价无穷小的关系：当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，$(1+x)^{a}$ $\sim$ $1$ $+$ $ax$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $(1+x)^{a}$ $-$ $1$ $\sim$ $ax$$.$
辅助图像：
