高数中的 $B_{2n}$ 是什么：伯努利数

伯努利数 $B_n$ 在数学中指的是一个有理数序列，最先由雅各布·伯努利进行研究。
伯努利数有多种定义和计算方式，但在通常的大学数学课程中，我们并不需要对此有过深的理解，故这里也不再具体展开阐述。

在通常的大学数学课程和考试中，我们只需要知道前几项被发现的伯努利数即可，它们依次为：

$B_n$ $=$

$$\{\begin{array}{ll}& B_0=1\\ & B_1^{\pm }=\pm \frac{1}{2}\\ & B_2=\frac{1}{6}\\ & B_3=0\\ & B_4=\frac{-1}{30}\\ & B_5=0\\ & B_6=\frac{1}{42}\\ & B_7=0\\ & B_8=\frac{-1}{30}.\end{array}$$

$B_1$ 中的上标 $\pm$ 在是用来区分“第一伯努利数”和“第二伯努利数”这两种不同的伯努利数定义的——这两种定义只有在 $n$ $=$ $1$ 时取值不同.

观察上面的式子可知，在 $B_n$ 中，当 $n$ 为大于 $1$ 的奇数时，伯努利数 $B_n$ 全为零. 事实上，在许多常见公式中，我们也仅使用偶数项的伯努利数 $B_{2n}$, 于是，站在实用的角度，我们只需要记住以下几个偶数项的伯努利数即可：

$B_{2n}$ $=$

$$\{\begin{array}{ll}& B_2=\frac{1}{6}\\ & B_4=\frac{-1}{30}\\ & B_6=\frac{1}{42}\\ & B_8=\frac{-1}{30}.\end{array}$$

参考资料：
[1]. https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number