ln(1+x) 的麦克劳林公式(B004)

问题

ln(1+x)x0 = 0 处的【麦克劳林公式】是什么?
说明:下面所有选项中 x 的取值范围都是:(1,1] .

选项

[A].   x x22 + x33 + (1)n1 xn1n1 + ο(xn)

[B].   x x22 + x33 + (1)n xnn + ο(xn)

[C].   x x22 + x33 + (1)n1 xnn + ο(xn)

[D].   x + x22 x33 + (1)n1 xnn + ο(xn)


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ln(1+x) 的麦克劳林公式

完整版:

ln(1+x) = x x22 + x33 + (1)n1 xnn + ο(xn) ,n = 1 开始 .

或者:

ln(1+x) = x x22 + x33 + (1)n xn+1n+1 + ο(xn) ,n = 0 开始 .

求和版:

ln(1+x) = n=1 (1)n1 xnn + ο(xn) .

或者:

ln(1+x) = n=0 (1)n xn+1n+1 + ο(xn) .

简略版:

ln(1+x) = x x22 + x33 + ο(xn) .

与等价无穷小的关系:当 x 0 时,ln(1+x) x .

辅助图像:
ln(1+x) 的麦克劳林公式 | 荒原之梦
图 01. 红色曲线表示 ln(1+x) 的图像,蓝色曲线表示 ln(1+x) 对应的麦克劳林公式前三项的图像,可以看到,二者在 x = 0 附近几乎完全重合.

常用的麦克劳林公式:

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