本文是关于一元函数极值点和最值点的讨论，如果想学习二元函数极值点和最值点的相关问题可以点击下面的按钮：
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标签： 高等数学基础
柯西中值定理（B004）
问题
设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均满足在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 内可导，且 $g'(x)$ $\neq$ $0$, 则根据【柯西中值定理】可知，存在 $\xi$ $\in$ $(a,b)$ 使得下列哪个选项是正确的？选项
[A]. $\frac{f(b) + f(a)}{g(b) + g(a)}$ $=$ $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$[B]. $\frac{f(b) + f(a)}{g(b) – g(a)}$ $=$ $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$
[C]. $\frac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)}$ $=$ $\frac{f(\xi)}{g(\xi)}$
[D]. $\frac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)}$ $=$ $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$
$\frac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)}$ $=$ $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$
拉格朗日中值定理（02-B004）
问题
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 内可导，则根据【拉格朗日中值定理】可知，下列哪个选项是正确的？选项
[A]. $f(x_{0} + \Delta x)$ $-$ $f(x_{0})$ $=$ $f'(x_{0} + \theta \Delta x)$ $\cdot$ $\Delta x$[B]. $f(x_{0} + \Delta x)$ $+$ $f(x_{0})$ $=$ $f'(x_{0} + \theta \Delta x)$ $\cdot$ $\Delta x$
[C]. $f(x_{0} + \Delta x)$ $-$ $f(x_{0})$ $=$ $f'(x_{0} + \theta \Delta x)$ $\div$ $\Delta x$
[D]. $f(x_{0} + \Delta x)$ $-$ $f(x_{0})$ $=$ $f'(x_{0} + \Delta x)$ $\cdot$ $\Delta x$
$f(x_{0} + \Delta x)$ $-$ $f(x_{0})$ $=$ $f'(x_{0} + \theta \Delta x)$ $\cdot$ $\Delta x$ $\color{Red}{\Rightarrow}$
$\frac{f(x_{0} + \Delta x) – f(x_{0})}{\Delta x}$ $=$ $f'(x_{0} + \theta \Delta x)$, 其中 $0$ $<$ $\theta$ $<$ $1$.
说明：$\theta$ 的取值在 $0$ 到 $1$ 之间，可以保证 $x_{0} + \theta \Delta x$ 的取值在 $x_{0}$ 到 $x_{0} + \Delta x$ 之间.
拉格朗日中值定理（01-B004）
问题
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 内可导，则根据【拉格朗日中值定理】可知，存在 $\xi$ $\in$ $(a,b)$ 使得下列哪个选项是正确的？选项
[A]. $\frac{f(b) – f(a)}{b – a}$ $=$ $f'(\xi)$[B]. $\frac{f(b) + f(a)}{b + a}$ $=$ $f'(\xi)$
[C]. $\frac{f(b) + f(a)}{b – a}$ $=$ $f'(\xi)$
[D]. $\frac{f(b) – f(a)}{b + a}$ $=$ $f'(\xi)$
$\frac{f(b) – f(a)}{b – a}$ $=$ $f'(\xi)$
罗尔定理（B004）
问题
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 内可导，且 $f(a)$ $=$ $f(b)$, 则根据【罗尔定理】可知，下列哪个选项是正确的？选项
[A]. 存在 $\xi$ $\in$ $(a,b)$, 使得 $f'(\xi)$ $=$ $1$.[B]. 存在 $\xi$ $\in$ $[a,b]$, 使得 $f'(\xi)$ $=$ $0$.
[C]. 存在 $\xi$ $\in$ $(a,b)$, 使得 $f'(\xi)$ $=$ $0$.
[D]. 存在 $\xi$ $\in$ $[a,b]$, 使得 $f'(\xi)$ $=$ $1$.
存在 $\xi$ $\in$ $(a,b)$, 使得 $f'(\xi)$ $=$ $0$.
费马引理（B004）
问题
设函数 $f(x)$ 在邻域 $U(x_{0})$ 内有定义，并且在点 $x_{0}$ 处可导，如果对于任意 $x_{0}$ $\in$ $U(x_{0})$, 都有 $f(x)$ $\leqslant$ $f(x_{0})$ 或 $f(x)$ $\geqslant$ $f(x_{0})$, 则根据【费马引理】可知，下列哪个选项是正确的？选项
[A]. $f'(x_{0})$ $=$ $1$[B]. $f(x_{0})$ $=$ $0$
[C]. $f'(x_{0})$ $=$ $0$
[D]. $f(x_{0})$ $=$ $1$
什么是凹函数和凸函数？（图文举例详细说明）
二阶导与函数的凹凸性（B003）
问题
已知，【二阶】导函数 $y”$ 的【正负】能够反映原函数 $y$ 的【凹凸性】，则以下说法正确的是哪一项？选项
[A]. $\begin{cases} & y” > 0 \Rightarrow y \ 凹; \\ & y” < 0 \Rightarrow y \ 不凹不凸; \end{cases}$[B]. $\begin{cases} & y” > 0 \Rightarrow y \ 凸; \\ & y” < 0 \Rightarrow y \ 凹; \end{cases}$
[C]. $\begin{cases} & y” > 0 \Rightarrow y \ 凹; \\ & y” < 0 \Rightarrow y \ 凸; \end{cases}$
[D]. $\begin{cases} & y” > 0 \Rightarrow y \ 不凹不凸; \\ & y” < 0 \Rightarrow y \ 凸; \end{cases}$
$\begin{cases} & y” > 0 \Rightarrow y \ 凹; \\ & y” < 0 \Rightarrow y \ 凸; \\ & y” = 0 \Rightarrow y \ 不凹不凸 \end{cases}$
注意：
利用二阶导函数判断曲线凹凸性的前提是：函数在对应的闭区间内连续，在对应的开区间内二阶可导——例如，函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 内具有二阶导函数，此时，我们就可以利用函数 $f(x)$ 的二阶导函数 $f”(x)$ 判断其在区间 $[a, b]$ 上的凹凸性了。
一阶导与函数的单调性（B003）
问题
已知，【一阶】导函数 $y’$ 的【正负】能够反映原函数 $y$ 的【单调性】，则以下说法正确的是哪一项？选项
[A]. $\begin{cases} & y’ > 0 \Rightarrow y \ 不增不减; \\ & y’ < 0 \Rightarrow y \ 单调递减. \end{cases}$[B]. $\begin{cases} & y’ > 0 \Rightarrow y \ 单调递增; \\ & y’ < 0 \Rightarrow y \ 不增不减. \end{cases}$
[C]. $\begin{cases} & y’ > 0 \Rightarrow y \ 单调递减; \\ & y’ < 0 \Rightarrow y \ 单调递增. \end{cases}$
[D]. $\begin{cases} & y’ > 0 \Rightarrow y \ 单调递增; \\ & y’ < 0 \Rightarrow y \ 单调递减. \end{cases}$
$\begin{cases} & y’ > 0 \Rightarrow y \ 单调递增; \\ & y’ < 0 \Rightarrow y \ 单调递减; \\ & y’ = 0 \Rightarrow y \ 不增不减. \end{cases}$
参数方程求二阶导的方法（B003）
问题
设有参数方程 $\begin{cases} & x = a(t), \\ & y = b(t) \end{cases}$, 该参数方程所确定的函数为 $y$ $=$ $y(x)$, 其中 $a'(t)$ 和 $b'(t)$ 以及 $a”(t)$ 和 $b”(t)$ 均存在，且 $a'(t)$ $\neq$ $0$, 则该参数方程的二阶导数 $y”$ $=$ $?$选项
[A]. $\frac{b”(t) a'(t) + b'(t) a”(t)}{a’^{3}(t)}$[B]. $\frac{b”(t) a'(t) – b'(t) a”(t)}{a'(t)}$
[C]. $\frac{b”(t) a'(t) – b'(t) a”(t)}{a’^{2}(t)}$
[D]. $\frac{b”(t) a'(t) – b'(t) a”(t)}{a’^{3}(t)}$
$y”$ $=$ $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}$ $=$ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}$ $\cdot$ $(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x})$ $\color{Red}{\Rightarrow}$
$\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}$ $=$ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}$ $\cdot$ $(\frac{b'(t)}{a'(t)})$ $\cdot$ $\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$
$\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}$ $=$ $\frac{b”(t) a'(t) – b'(t) a”(t)}{a’^{2}(t)}$ $\cdot$ $\frac{1}{a'(t)}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$
$\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}$ $=$ $\frac{b”(t) a'(t) – b'(t) a”(t)}{a’^{3}(t)}.$
参数方程求一阶导的方法（B003）
问题
设有参数方程 $\begin{cases} & x = a(t), \\ & y = b(t) \end{cases}$, 该参数方程所确定的函数为 $y$ $=$ $y(x)$, 其中 $a'(t)$ 和 $b'(t)$ 均存在，且 $a'(t)$ $\neq$ $0$, 则 $y’$ $=$ $?$选项
[A]. $\frac{b'(t)}{a'(t)}$[B]. $\frac{b(t)}{a'(t)}$
[C]. $\frac{a'(t)}{b(t)}$
[D]. $\frac{a'(t)}{b'(t)}$
$y’$ $=$ $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ $=$ $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$ $\cdot$ $\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}$ $=$ $\frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}}$ $=$ $\frac{b'(t)}{a'(t)}$
二元隐函数的一阶导函数求导法则（B003）
问题
设 $F(x,y)$ $=$ $0$ 是一个可导的二元隐函数，则其导函数 $y’$ $=$ $?$选项
[A]. $\frac{- F’_{x}}{F’_{y}}$[B]. $\frac{F’_{y}}{F’_{x}}$
[C]. $\frac{- F’_{y}}{F’_{x}}$
[D]. $\frac{F’_{x}}{F’_{y}}$
$y’$ $=$ $\frac{- F’_{x}}{F’_{y}}$
解释：
要对隐函数 $F(x,y)$ $=$ $0$ 求导，只需要在该函数的两边对 $x$ 求导，同时将 $y$ 看作中间变量，用复合函数的求导公式完成对 $y$ 中包含的 $x$ 的求导，过程如下：
$F’_{x}$ $+$ $F’_{y}$ $\cdot$ $\frac{\rm{d} y}{\rm{d} x}$ $=$ $0$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $\frac{\rm{d} y}{\rm{d} x}$ $=$ $\frac{- F’_{x}}{F’_{y}}$
什么是隐函数？（B003）
问题
根据隐函数的特征，以下哪个选项所表示的函数是隐函数？选项
[A]. $x$ $=$ $f(y)$[B]. $y$ $=$ $f(x)$
[C]. $F(x, y)$ $=$ $0$
[D]. $y$ $=$ $0$
$F(x, y)$ $=$ $0$
说明：
所谓隐函数就是不能将自变量 $x$ 和因变量 $y$ 拆分开放在等号两边的函数，这类函数一般写成 $F(x, y)$ $=$ $0$ 的形式.
例如，$e^{x}$ $-$ $xy$ $-$ $1$ $=$ $0$ 就是一个隐函数，其函数图像如下图所示：
什么是反函数？（B003）
问题
下面关于【什么是反函数】的描述中，正确的是哪个选项？选项
[A]. 对原函数取负倒数，得到的就是反函数[B]. 对原函数取倒数，所得到的就是反函数
[C]. 对原函数取负数，所得到的就是反函数
[D]. 将原函数中的 $x$ 换成 $y$, 将原函数中的 $y$ 换成 $x$ 所得到的就是反函数
将原函数中的自变量 $x$ 和因变量 $y$ 调换位置后，所得到的函数就是反函数，例如，函数 $y$ $=$ $x^{3}$ 的反函数是 $x$ $=$ $y^{3}$. 如果将反函数 $x$ $=$ $y^{3}$ 写成通常的形式，就是：$y$ $=$ $x^{\frac{1}{3}}$.
示例图：
红色曲线表示函数 $y$ $=$ $x^{3}$, 绿色曲线表示其反函数 $x$ $=$ $y^{3}$:
反函数的求导法则（B003）
问题
设 $x$ $=$ $\phi(y)$ 是函数 $y$ $=$ $f(x)$ 的反函数，则 $\phi'(y)$ $=$ $?$选项
[A]. $\phi'(y)$ $=$ $\frac{1}{f'(x)}$[B]. $\phi'(y)$ $=$ $- f'(x)$
[C]. $\phi'(y)$ $=$ $f'(x)$
[D]. $\phi'(y)$ $=$ $\frac{-1}{f'(x)}$
$\phi'(y)$ $=$ $\frac{\rm{d} x}{\rm{d} y}$ $=$ $\frac{1}{\frac{\rm{d} y}{\rm{d} x}}$ $=$ $\frac{1}{f'(x)}$