标签： 高等数学基础

$(1+x)^{a}$ 的麦克劳林公式

完整版：

$(1+x)^{a}$ $=$ $1$ $+$ $ax$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2!}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n!}$ $\cdot$ $x^{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$

求和版：

$(1+x)^{a}$ $=$ $1$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n!}$ $\cdot$ $x^{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$

简略版：

$(1+x)^{a}$ $=$ $1$ $+$ $ax$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2!}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$

与等价无穷小的关系：当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，$(1+x)^{a}$ $\sim$ $1$ $+$ $ax$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $(1+x)^{a}$ $-$ $1$ $\sim$ $ax$$.$

$\ln(1+x)$ 的麦克劳林公式

完整版：

$\ln(1+x)$ $=$ $x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n-1}$ $\cdot$ $\frac{x^{n}}{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $,$ 从 $n$ $=$ $1$ 开始 $.$

或者：

$\ln(1+x)$ $=$ $x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $,$ 从 $n$ $=$ $0$ 开始 $.$

求和版：

$\ln(1+x)$ $=$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $(-1)^{n-1}$ $\cdot$ $\frac{x^{n}}{n}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$

或者：

$\ln(1+x)$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$

简略版：

$\ln(1+x)$ $=$ $x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{3}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$

与等价无穷小的关系：当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，$\ln(1+x)$ $\sim$ $x$ $.$

$\cos x$ 的麦克劳林公式

完整版：

$\cos x$ $=$ $1$ $-$ $\frac{x^{2}}{2!}$ $+$ $\frac{x^{4}}{4!}$ $-$ $\frac{x^{6}}{6!}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ $+$ $\omicron (x^{2n+1})$ $.$

求和版：

$\cos x$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ $+$ $\omicron (x^{2n+1})$ $.$

简略版：

$\cos x$ $=$ $1$ $-$ $\frac{x^{2}}{2!}$ $+$ $\frac{x^{4}}{4!}$ $-$ $\frac{x^{6}}{6!}$ $+$ $\omicron (x^{2n+1})$ $.$

与等价无穷小的关系：当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，$\cos x$ $\sim$ $1$ $-$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $x^{2}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $1$ $-$ $\cos x$ $\sim$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $x^{2}$ $.$

$\sin x$ 的麦克劳林公式

完整版：

$\sin x$ $=$ $x$ $-$ $\frac{x^{3}}{3!}$ $+$ $\frac{x^{5}}{5!}$ $-$ $\frac{x^{7}}{7!}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ $+$ $\omicron (x^{2n+2})$ $.$

求和版：

$\sin x$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ $+$ $\omicron (x^{2n+2})$ $.$

简略版：

$\sin x$ $=$ $x$ $-$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{1}{120}$ $\cdot$ $x^{5}$ $.$

与等价无穷小的关系：当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，$\sin x$ $\sim$ $x$ $-$ $\frac{x^{3}}{6}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $x$ $-$ $\sin x$ $\sim$ $\frac{x^{3}}{6}$ $.$

$e^{x}$ 的麦克劳林公式

完整版：
$e^{x}$ $=$ $1$ $+$ $x$ $+$ $\frac{x^{2}}{2!}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{x^{n}}{n!}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$

求和版：
$e^{x}$ $=$ $\sum_{n = 0}^{\infty}$ $\frac{x^{n}}{n!}$ $+$ $\omicron (x^{n})$ $.$

简略版：
$e^{x}$ $=$ $1$ $+$ $x$ $+$ $\frac{1}{2}x^{2}$ $+$ $\frac{1}{6}x^{3}$ $+$ $\omicron (x^{3})$ $.$

与等价无穷小的关系：当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，$e^{x}$ $-$ $1$ $\sim$ $x$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $e^{x}$ $\sim$ $1$ $+$ $x$.

$f(x)$ $=$ $\sum_{k=0}^{n}$ $\frac{f^{(k)} (x_{0})}{k!}$ $\cdot$ $(x – x_{0})^{k}$ $+$ $R_{n}(x)$ $\color{Red}{\Rightarrow}$

$f(x)$ $=$ $\frac{f(x_{0})}{0!}$ $\cdot$ $(x – x_{0})^{0}$ $+$ $\frac{f'(x_{0})}{1!}$ $\cdot$ $(x – x_{0})$ $+$ $\frac{f”(x_{0})}{2!}$ $\cdot$ $(x – x_{0})^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}$ $\cdot$ $(x-x_{0})^{n}$ $+$ $R_{n}(x).$

备注：$0!$ $=$ $1!$ $=$ $x^{0}$ $=$ $1$.

$\frac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)}$ $=$ $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$

$f(x_{0} + \Delta x)$ $-$ $f(x_{0})$ $=$ $f'(x_{0} + \theta \Delta x)$ $\cdot$ $\Delta x$ $\color{Red}{\Rightarrow}$
$\frac{f(x_{0} + \Delta x) – f(x_{0})}{\Delta x}$ $=$ $f'(x_{0} + \theta \Delta x)$, 其中 $0$ $<$ $\theta$ $<$ $1$.

说明：$\theta$ 的取值在 $0$ 到 $1$ 之间，可以保证 $x_{0} + \theta \Delta x$ 的取值在 $x_{0}$ 到 $x_{0} + \Delta x$ 之间.

$\frac{f(b) – f(a)}{b – a}$ $=$ $f'(\xi)$

存在 $\xi$ $\in$ $(a,b)$, 使得 $f'(\xi)$ $=$ $0$.

$f'(x_{0})$ $=$ $0$

说明：如果函数上某个点不是区间的端点，而且是该区间上的最高点或最低点，则该点处的切线一定是水平的，即导函数值为零.

换一种说法就是：可导函数的极值点一定是驻点.