标签： 高等数学基础

$x$ $-$ $\sin x$ $\color{Red}{\sim}$ $\frac{1}{6} x^{3}$ $\color{Red}{\sim}$ $\arcsin x$ $-$ $x$

$x$ $-$ $\ln(1+x)$ $\sim$ $\frac{1}{2} x^{2}$

$(1+x)^{a}$ $-$ $1$ $\sim$ $ax$

其中，$a$ 为常数且 $a$ $\neq$ $0$.

$1 – \cos x$ $\sim$ $\frac{1}{2}x^{2}$

$a^{x} – 1$ $\sim$ $x \ln a$

Tips: 其中，$a$ 为常数且 $a$ $\neq$ $0$.

$\sin x$ $\sim$ $\tan x$ $\sim$ $\arcsin x$ $\sim$ $\arctan x$ $\sim$ $e^{x}$ $-$ $1$ $\sim$ $\ln(1+x)$ $\sim$ $x$

$\alpha(x)$ 是 $\beta(x)$ 的 $k$ 阶无穷小

Tips: $\alpha(x)$ 是 $\beta(x)$ 的 $k$ 阶无穷小，即是说 $\alpha(x)$ 和 $\beta(x)$ 相差了 $k$ 个数量级.

$\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 是等价无穷小，可记作 $\alpha(x)$ $\sim$ $\beta(x)$

Tips: $\alpha(x)$ 和 $\beta(x)$ 是等价无穷小，即是说 $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 在极限上可以认为是相等的.

$\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 是同阶无穷小

Tips: $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 是同阶无穷小，即是说 $\alpha(x)$ 和 $\beta(x)$ 虽然不相等，但仍处于同一个量级.

$\alpha(x)$ 是比 $\beta(x)$ 低阶的无穷小

Tips: $\alpha(x)$ 是 $\beta(x)$ 的低阶无穷小，即是说 $\alpha(x)$ 远大于 $\beta(x)$.

$\alpha(x)$ 是比 $\beta(x)$ 高阶的无穷小，可记作 $\alpha(x)$ $=$ $o[\beta(x)]$

Tips: $\alpha(x)$ 是 $\beta(x)$ 的高阶无穷小，即是说 $\alpha(x)$ 远小于 $\beta(x)$.

$\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $=$ $A$ $\color{Red}{\Leftrightarrow}$ $f(x)$ $\color{Red}{=}$ $A$ $+$ $\alpha(x)$

1. 数列的子列极限【不全部相等】；
2. 函数某点处【左侧】的极限与【右侧】的极限【不相等】；
3. 极限运算的结果为【正无穷大】或【负无穷大】.

无限个无穷小量的代数和或积不一定是无穷小量

关键词：无限个、不一定

有界函数与无穷小量的乘积仍是无穷小量

关键词：有界函数、乘积、仍是