考研数学 – 第 133 页

$\int$ $\frac{1}{\cos ^{2} x}$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式（B006）

问题

[$\textcolor{Orange}{\int \frac{1}{\cos ^{2} x} \mathrm{d} x}$] 的积分该怎么计算？

选项

[A]. $\int$ $\frac{1}{\cos ^{2} x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\cot x$ $+$ $C$

[B]. $\int$ $\frac{1}{\cos ^{2} x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \tan x$ $+$ $C$

[C]. $\int$ $\frac{1}{\cos ^{2} x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\tan x$

[D]. $\int$ $\frac{1}{\cos ^{2} x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\tan x$ $+$ $C$

答案

$$\int \textcolor{Red}{\frac{1}{\cos ^{2} x}} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{\tan x} + \textcolor{Yellow}{C}.$$

基本积分公式：

$\int$ $\csc ^{2} x$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式（B006）

问题

[$\textcolor{Orange}{\int \csc ^{2} x \mathrm{d} x}$] 的积分该怎么计算？

选项

[A]. $\int$ $\csc ^{2} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\cot x$ $+$ $C$

[B]. $\int$ $\csc ^{2} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \cot x$

[C]. $\int$ $\csc ^{2} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \cot x$ $+$ $C$

[D]. $\int$ $\csc ^{2} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \cos x$ $+$ $C$

答案

$$\int \textcolor{Red}{\csc ^{2} x} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{- \cot x} + \textcolor{Yellow}{C}.$$

基本积分公式：

$\int$ $\frac{1}{\sin ^{2} x}$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式（B006）

问题

[$\textcolor{Orange}{\int \frac{1}{\sin ^{2} x} \mathrm{d} x}$] 的积分该怎么计算？

选项

[A]. $\int$ $\frac{1}{\sin ^{2} x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \cos x$ $+$ $C$

[B]. $\int$ $\frac{1}{\sin ^{2} x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\cot x$ $+$ $C$

[C]. $\int$ $\frac{1}{\sin ^{2} x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \cot x$

[D]. $\int$ $\frac{1}{\sin ^{2} x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \cot x$ $+$ $C$

答案

$$\int \textcolor{Red}{\frac{1}{\sin ^{2} x}} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{- \cot x} + \textcolor{Yellow}{C}.$$

基本积分公式：

$\int$ $\sec x$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式（B006）

问题

[$\textcolor{Orange}{\int \sec x \mathrm{d} x}$] 的积分该怎么计算？

选项

[A]. $\int$ $\sec x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\ln |\tan x – \sec x|$ $+$ $C$

[B]. $\int$ $\sec x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\ln |\sec x – \tan x|$ $+$ $C$

[C]. $\int$ $\sec x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\ln |\sec x + \tan x|$

[D]. $\int$ $\sec x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\ln |\sec x + \tan x|$ $+$ $C$

答案

$$\int \textcolor{Red}{\sec x} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{\ln |\sec x + \tan x|} + \textcolor{Yellow}{C}.$$

基本积分公式：

$\int$ $\frac{1}{\cos x}$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式（B006）

问题

[$\textcolor{Orange}{\int \frac{1}{\cos x} \mathrm{d} x}$] 的积分该怎么计算？

选项

[A]. $\int$ $\frac{1}{\cos x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\ln |\sec x + \tan x|$

[B]. $\int$ $\frac{1}{\cos x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\ln |\sec x + \tan x|$ $+$ $C$

[C]. $\int$ $\frac{1}{\cos x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\ln |\tan x – \sec x|$ $+$ $C$

[D]. $\int$ $\frac{1}{\cos x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\ln |\sec x – \tan x|$ $+$ $C$

答案

$$\int \textcolor{Red}{\frac{1}{\cos x}} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{\ln |\sec x + \tan x|} + \textcolor{Yelllow}{C}.$$

基本积分公式：

$\int$ $\csc x$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式（B006）

问题

[$\textcolor{Orange}{\int \csc x \mathrm{d} x}$] 的积分该怎么计算？

选项

[A]. $\int$ $\csc x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\ln (\csc x – \cot x)$ $+$ $C$

[B]. $\int$ $\csc x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\ln |\csc x – \cot x|$

[C]. $\int$ $\csc x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\ln |\csc x – \cot x|$ $+$ $C$

[D]. $\int$ $\csc x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\ln (\csc x + \cot x)$ $+$ $C$

答案

$$\int \textcolor{Red}{\csc x} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{\ln |\csc x – \cot x|} + \textcolor{Yellow}{C}.$$

基本积分公式：

$\int$ $\frac{1}{\sin x}$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式（B006）

问题

[$\textcolor{Orange}{\int \frac{1}{\sin x} \mathrm{d} x}$] 的积分该怎么计算？

选项

[A]. $\int$ $\frac{1}{\sin x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\ln |\csc x – \cot x|$

[B]. $\int$ $\frac{1}{\sin x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\ln |\csc x – \cot x|$ $+$ $C$

[C]. $\int$ $\frac{1}{\sin x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\ln (\csc x + \cot x)$ $+$ $C$

[D]. $\int$ $\frac{1}{\sin x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\ln (\csc x – \cot x)$ $+$ $C$

答案

$$\int \textcolor{Red}{\frac{1}{\sin x}} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{\ln |\csc x – \cot x|} + \textcolor{Yellow}{C}.$$

基本积分公式：

$\int$ $\sin (n \pi x)$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式（B006）

问题

[$\textcolor{Orange}{\int \sin (n \pi x) \mathrm{d} x}$] 的积分该怎么计算？

选项

[A]. $\int$ $\sin (n \pi x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{n \pi}$ $\cos (n \pi x)$ $+$ $C$

[B]. $\int$ $\sin (n \pi x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{-1}{n \pi}$ $\cos (n \pi x)$

[C]. $\int$ $\sin (n \pi x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{-1}{n \pi}$ $\cos (n \pi x)$ $+$ $C$

[D]. $\int$ $\sin (n \pi x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- n \pi$ $\cos (n \pi x)$ $+$ $C$

答案

$$\int \textcolor{Red}{\sin (n \pi x)} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{\frac{-1}{n \pi} \cos (n \pi x)} + \textcolor{Yellow}{C}.$$

基本积分公式：

$\int$ $\sin x$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式（B006）

问题

[$\textcolor{Orange}{\int \sin x \mathrm{d} x}$] 的积分该怎么计算？

选项

[A]. $\int$ $\sin x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \sin x$ $+$ $C$

[B]. $\int$ $\sin x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\cos x$ $+$ $C$

[C]. $\int$ $\sin x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \cos x$

[D]. $\int$ $\sin x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \cos x$ $+$ $C$

答案

$$\int \textcolor{Red}{\sin x} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{- \cos x} + \textcolor{Yelllow}{C}$$

基本积分公式：

$\int$ $\cos x$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式（B006）

问题

[$\textcolor{Orange}{\int \cos x \mathrm{d} x}$] 的积分该怎么计算？

选项

[A]. $\int$ $\cos x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \cos x$ $+$ $C$

[B]. $\int$ $\cos x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \sin x$ $+$ $C$

[C]. $\int$ $\cos x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\sin x$

[D]. $\int$ $\cos x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\sin x$ $+$ $C$

答案

$$\int \textcolor{Red}{\cos x} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{\sin x} + \textcolor{Yellow}{C}$$

基本积分公式：

$\int$ $e^{-x}$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式（B006）

问题

[$\textcolor{Orange}{\int e^{-x} \mathrm{d} x}$] 的积分该怎么计算？

选项

[A]. $\int$ $e^{-x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $-e^{-x}$ $+$ $C$

[B]. $\int$ $e^{-x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $e^{x}$ $+$ $C$

[C]. $\int$ $e^{-x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $e^{-x}$ $+$ $C$

[D]. $\int$ $e^{-x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $-e^{-x}$

答案

$$\int \textcolor{Red}{e^{-x}} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{-e^{-x}} + \textcolor{Yellow}{C}.$$其中，$e$ 表示自然对数的底数，$C$ 为任意常数.

基本积分公式：

自然对数的底数 $e$

自然对数的指数 e | 荒原之梦 — 图 01. 图中的曲线表示 $y$ $=$ $\frac{1}{x}$, 浅蓝色区域则是由曲线 $y$, $X$ 轴和 $x$ $=$ $1$, $x$ $=$ $e$ 围成的，由于积分 $\int_{1}^{e}$ $\frac{1}{x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $1$, 因此，图中浅蓝色区域的面积刚好为 $1$.
By Cronholm144 at English Wikipedia, CC BY-SA 3.0.

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$\int$ $e^{x}$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式（B006）

问题

[$\textcolor{Orange}{\int e^{x} \mathrm{d} x}$] 的积分该怎么计算？

选项

[A]. $\int$ $e^{x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $e^{-x}$ $+$ $C$

[B]. $\int$ $e^{x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $e^{x}$

[C]. $\int$ $e^{x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $e^{x}$ $+$ $C$

[D]. $\int$ $e^{x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $-e^{-x}$ $+$ $C$

答案

$$\int \textcolor{Red}{e^{x}} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{e^{x}} + \textcolor{Yellow}{C}.$$其中，$e$ 为自然对数的底数，其值约为 $2.71828$, $C$ 表示任意常数.

基本积分公式：

$\int$ $a^{-x}$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式（B006）

问题

[$\textcolor{Orange}{\int a^{-x} \mathrm{d} x}$] 的积分该怎么计算？

选项

[A]. $\int$ $a^{-x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{a^{-x}}{\ln a}$ $+$ $C$

[B]. $\int$ $a^{-x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{a^{x}}{\ln a}$ $+$ $C$

[C]. $\int$ $a^{-x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{a^{-x}}{\ln a}$

[D]. $\int$ $a^{-x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{-a^{-x}}{\ln a}$ $+$ $C$

答案

$$\int \textcolor{Red}{a^{-x}} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Green}{\frac{1}{\ln a}} (\textcolor{Red}{-a^{-x}}) + \textcolor{Yellow}{C}.$$其中，$a$ 为常数且 $a$ $>$ $0$, $C$ 为任意常数.

相关公式：$a^{x}$ 的求导公式（B003）

基本积分公式：

$\int$ $a^{x}$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式（B006）

问题

[$\textcolor{Orange}{\int a^{x} \mathrm{d} x}$] 的积分该怎么计算？

选项

[A]. $\int$ $a^{x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{a}{\ln x}$ $+$ $C$

[B]. $\int$ $a^{x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{x}{\ln a}$ $+$ $C$

[C]. $\int$ $a^{x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{a^{x}}{\ln a}$

[D]. $\int$ $a^{x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{a^{x}}{\ln a}$ $+$ $C$

答案

$$\int \textcolor{Green}{a^{x}} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{\frac{1}{\ln a}} \textcolor{Green}{a^{x}} \mathrm{d} x + \textcolor{Yellow}{C}.$$其中，$a$ 为常数且 $a$ $>$ $0$, $C$ 为任意常数.

相关公式：$a^{x}$ 的求导公式（B003）