荒原之梦 - 第110页共243页 - 专注于考研数学|高等数学|线性代数|概率统计

对 $\int$ $f(ax^{n}+b)x^{n-1}$ $\mathrm{d} x$ 凑微分的计算方法（B006）

问题

通过凑微分，如何计算 [$\textcolor{Orange}{\int f(ax^{n}+b)x^{n-1} \mathrm{d} x}$] ?

选项

[A]. $\int$ $f(ax^{n}+b)x^{n-1}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{na}$ $\int$ $f(ax^{n}+b)$ $\mathrm{d}$ $(ax^{n+1}+b)$

[B]. $\int$ $f(ax^{n}+b)x^{n-1}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{na}$ $\int$ $f(ax^{n}+b)$ $\mathrm{d}$ $(ax^{n}+b)$ $+$ $C$

[C]. $\int$ $f(ax^{n}+b)x^{n-1}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{na}$ $\int$ $f(ax^{n}+b)$ $\mathrm{d}$ $(ax^{n}+b)$

[D]. $\int$ $f(ax^{n}+b)x^{n-1}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{a}$ $\int$ $f(ax^{n}+b)$ $\mathrm{d}$ $(ax^{n}+b)$

答案

$$\int \textcolor{Red}{f(ax^{n}+b)x^{n-1}} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{x} =$$ $$\textcolor{Orange}{\frac{1}{na}} \textcolor{Green}{\times} \int \textcolor{Red}{f(ax^{n}+b)} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{(ax^{n}+b)}.$$其中，$a$ 和 $n$ 都是常数且 $a$ $\neq$ $0$, $n$ $\neq$ $0$.

常用的几种凑微分形式：

对 $\int$ $f(ax + b)$ $\mathrm{d} x$ 凑微分的计算方法（B006）

问题

通过凑微分，如何计算 [$\textcolor{Orange}{\int f(ax + b) \mathrm{d} x}$] ?

选项

[A]. $\int$ $f(ax + b)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int$ $f(ax + b)$ $\mathrm{d}(ax + b)$

[B]. $\int$ $f(ax + b)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{a}$ $\int$ $f(ax + b)$ $\mathrm{d}x$

[C]. $\int$ $f(ax + b)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{a}$ $\int$ $f(ax + b)$ $\mathrm{d}(ax + b)$ $+$ $C$

[D]. $\int$ $f(ax + b)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{a}$ $\int$ $f(ax + b)$ $\mathrm{d}(ax + b)$

答案

$$\int \textcolor{Red}{f(ax + b)} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{x} =$$ $$\textcolor{Orange}{\frac{1}{a}} \textcolor{Green}{\times} \int \textcolor{Red}{f(ax + b)} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{(ax + b)}$$其中，$a$ 为常数且 $a$ $\neq$ $0$.

常用的几种凑微分形式：

$\int$ $\frac{1}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式（B006）

问题

[$\textcolor{Orange}{\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}} \mathrm{d} x}$] 的积分该怎么计算？

选项

[A]. $\int$ $\frac{1}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\ln \Big| x + \sqrt{x^{2} \mp a^{2}} \Big|$ $+$ $C$

[B]. $\int$ $\frac{1}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\ln \Big| x + \sqrt{x^{2} \pm a^{2}} \Big|$

[C]. $\int$ $\frac{1}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\ln \Big| x + \sqrt{x^{2} \pm a^{2}} \Big|$ $+$ $C$

[D]. $\int$ $\frac{1}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\ln \Big| x \pm \sqrt{x^{2} \pm a^{2}} \Big|$ $+$ $C$

答案

$$\int \textcolor{Red}{\frac{1}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}}} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{\ln \Big| x + \sqrt{x^{2} \pm a^{2}} \Big|} + \textcolor{Yellow}{C}.$$

基本积分公式：

$\int$ $\frac{1}{1 – x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式（B006）

问题

[$\textcolor{Orange}{\int \frac{1}{1 – x^{2}} \mathrm{d} x}$] 的积分该怎么计算？

选项

[A]. $\int$ $\frac{1}{1 – x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\ln \Big| \frac{1-x}{1+x} \Big|$ $+$ $C$

[B]. $\int$ $\frac{1}{1 – x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\ln \Big| \frac{1+x}{1+x} \Big|$ $+$ $C$

[C]. $\int$ $\frac{1}{1 – x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\ln \Big| \frac{1+x}{1-x} \Big|$

[D]. $\int$ $\frac{1}{1 – x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\ln \Big| \frac{1+x}{1-x} \Big|$ $+$ $C$

答案

$$\int \textcolor{Red}{\frac{1}{1 – x^{2}}} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{\frac{1}{2}} \textcolor{Green}{\times} \textcolor{Red}{\ln \Big| \frac{1+x}{1-x} \Big|} + \textcolor{Yellow}{C}.$$

基本积分公式：

$\int$ $\frac{1}{a^{2} – x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式（B006）

问题

[$\textcolor{Orange}{\int \frac{1}{a^{2} – x^{2}} \mathrm{d} x}$] 的积分该怎么计算？

选项

[A]. $\int$ $\frac{1}{a^{2} – x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{2a}$ $\ln \Big| \frac{a+x}{a-x} \Big|$ $+$ $C$

[B]. $\int$ $\frac{1}{a^{2} – x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{2a}$ $\ln \Big| \frac{a-x}{a+x} \Big|$ $+$ $C$

[C]. $\int$ $\frac{1}{a^{2} – x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{2a}$ $\ln \Big| \frac{a+x}{a+x} \Big|$ $+$ $C$

[D]. $\int$ $\frac{1}{a^{2} – x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{2a}$ $\ln \Big| \frac{a+x}{a-x} \Big|$

答案

$$\int \textcolor{Red}{\frac{1}{a^{2} – x^{2}}} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{\frac{1}{2a}} \textcolor{Green}{\times} \textcolor{Red}{\ln \Big| \frac{a+x}{a-x} \Big|} + \textcolor{Yellow}{C}.$$其中，$a$ 为常数且 $a$ $\neq$ $0$.

基本积分公式：

$\int$ $\frac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式（B006）

问题

[$\textcolor{Orange}{\int \frac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}} \mathrm{d} x}$] 的积分该怎么计算？

选项

[A]. $\int$ $\frac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \arcsin x$ $+$ $C$

[B]. $\int$ $\frac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\arctan x$ $+$ $C$

[C]. $\int$ $\frac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\arcsin x$

[D]. $\int$ $\frac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\arcsin x$ $+$ $C$

答案

$$\int \textcolor{Red}{\frac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}}} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{\arcsin x} + \textcolor{Yellow}{C}.$$

基本积分公式：

$\int$ $\frac{1}{\sqrt{a^{2} – x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式（B006）

问题

[$\textcolor{Orange}{\int \frac{1}{\sqrt{a^{2} – x^{2}}} \mathrm{d} x}$] 的积分该怎么计算？

选项

[A]. $\int$ $\frac{1}{\sqrt{a^{2} – x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \arcsin \frac{a}{x}$ $+$ $C$

[B]. $\int$ $\frac{1}{\sqrt{a^{2} – x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\arcsin \frac{x}{a}$

[C]. $\int$ $\frac{1}{\sqrt{a^{2} – x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\arcsin \frac{x}{a}$ $+$ $C$

[D]. $\int$ $\frac{1}{\sqrt{a^{2} – x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\sin \frac{x}{a}$ $+$ $C$

答案

$$\int \textcolor{Red}{\frac{1}{\sqrt{a^{2} – x^{2}}}} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{\arcsin \frac{x}{a}} + \textcolor{Yellow}{C}.$$

相关公式：当 $a$ $=$ $1$ 时，$\int$ $\frac{1}{\sqrt{a^{2} – x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式可以简化为 $\int$ $\frac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式.

基本积分公式：

$\int$ $\frac{x}{1 + x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式（B006）

问题

[$\textcolor{Orange}{\int \frac{x}{1 + x^{2}} \mathrm{d} x}$] 的积分该怎么计算？

选项

[A]. $\int$ $\frac{x}{1 + x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\ln (1 + x)$ $+$ $C$

[B]. $\int$ $\frac{x}{1 + x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\ln (x + x^{2})$ $+$ $C$

[C]. $\int$ $\frac{x}{1 + x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\ln (1 + x^{2})$

[D]. $\int$ $\frac{x}{1 + x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\ln (1 + x^{2})$ $+$ $C$

答案

$$\int \textcolor{Red}{\frac{x}{1 + x^{2}}} \mathrm{d} x=$$ $$\textcolor{Red}{\frac{1}{2}} \textcolor{Green}{\times} \textcolor{Red}{\ln (1 + x^{2})} + \textcolor{Yellow}{C}.$$

基本积分公式：

LaTeX 二元关系符号语法

下面是 LaTeX 中的二元关系符号语法，包括二元肯定关系符号和二元否定关系符号：

继续阅读

$\int$ $\frac{1}{1 + x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式（B006）

问题

[$\textcolor{Orange}{\int \frac{1}{1 + x^{2}} \mathrm{d} x}$] 的积分该怎么计算？

选项

[A]. $\int$ $\frac{1}{1 + x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\arctan \frac{1}{x}$ $+$ $C$

[B]. $\int$ $\frac{1}{1 + x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\arctan x$

[C]. $\int$ $\frac{1}{1 + x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\arctan x$ $+$ $C$

[D]. $\int$ $\frac{1}{1 + x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\arctan x^{2}$ $+$ $C$

答案

$$\int \textcolor{Red}{\frac{1}{1 + x^{2}}} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{\arctan x} + C$$

基本积分公式：

$\int$ $\frac{1}{a^{2} + x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式（B006）

问题

[$\textcolor{Orange}{\int \frac{1}{a^{2} + x^{2}} \mathrm{d} x}$] 的积分该怎么计算？

选项

[A]. $\int$ $\frac{1}{a^{2} + x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{a}$ $\arctan \frac{x}{a}$

[B]. $\int$ $\frac{1}{a^{2} + x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{a}$ $\arctan \frac{x}{a}$ $+$ $C$

[C]. $\int$ $\frac{1}{a^{2} + x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{x}{a}$ $\arctan \frac{1}{a}$ $+$ $C$

[D]. $\int$ $\frac{1}{a^{2} + x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{a}$ $\arctan x$ $+$ $C$

答案

$$\int \textcolor{Red}{\frac{1}{a^{2} + x^{2}}} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{\frac{1}{a}} \textcolor{Green}{\times} \textcolor{Red}{\arctan (\frac{x}{a})} + \textcolor{Yellow}{C}.$$其中，$a$ 为常数且 $a$ $\neq$ $0$.

当 $a$ $=$ $1$ 时，$\int$ $\frac{1}{a^{2} + x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式就是：$\int$ $\frac{1}{1 + x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式.

基本积分公式：

$\int$ $(\csc x \times \cot x)$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式（B006）

问题

[$\textcolor{Orange}{\int (\csc x \times \cot x) \mathrm{d} x}$] 的积分该怎么计算？

选项

[A]. $\int$ $(\csc x \cot x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\sec x$ $+$ $C$

[B]. $\int$ $(\csc x \cot x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\csc x$ $+$ $C$

[C]. $\int$ $(\csc x \cot x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\csc x$

[D]. $\int$ $(\csc x \cot x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \csc x$ $+$ $C$

答案

$$\int \textcolor{Red}{(\csc x \times \cot x)} \mathrm{d} x =$$ $$\int \textcolor{Red}{(\frac{1}{\sin x} \times \frac{\cos x}{\sin x})} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{- \csc x} + \textcolor{Yellow}{C} =$$ $$\textcolor{Red}{\frac{- 1}{\sin x}} + \textcolor{Yellow}{C}.$$

基本积分公式：

$\int$ $(\sec x \times \tan x)$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式（B006）

问题

[$\textcolor{Orange}{\int (\sec x \times \tan x) \mathrm{d} x}$] 的积分该怎么计算？

选项

[A]. $\int$ $(\sec x \tan x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\csc x$ $+$ $C$

[B]. $\int$ $(\sec x \tan x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \sec x$ $+$ $C$

[C]. $\int$ $(\sec x \tan x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\sec x$

[D]. $\int$ $(\sec x \tan x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\sec x$ $+$ $C$

答案

$$\int \textcolor{Red}{(\sec x \times \tan x)} \mathrm{d} x =$$ $$\int \textcolor{Red}{(\frac{1}{\cos x} \times \frac{\sin x}{\cos x})} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{\sec x} + \textcolor{Yellow}{C} =$$ $$\textcolor{Red}{\frac{1}{\cos x}} + \textcolor{Yellow}{C}.$$

基本积分公式：

$\int$ $\cot x$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式（B006）

问题

[$\textcolor{Orange}{\int \cot x \mathrm{d} x}$] 的积分该怎么计算？

选项

[A]. $\int$ $\cot x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \ln |\sin x|$ $+$ $C$

[B]. $\int$ $\cot x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\ln |\sin x|$

[C]. $\int$ $\cot x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\ln |\sin x|$ $+$ $C$

[D]. $\int$ $\cot x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\ln |\sec x|$ $+$ $C$

答案

$$\int \textcolor{Red}{\cot x} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{\ln |\sin x|} + \textcolor{Yellow}{C}.$$

基本积分公式：

$\int$ $\tan x$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式（B006）

问题

[$\textcolor{Orange}{\int \tan x \mathrm{d} x}$] 的积分该怎么计算？

选项

[A]. $\int$ $\tan x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \ln |\cos x|$ $+$ $C$

[B]. $\int$ $\tan x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \ln |\cot x|$ $+$ $C$

[C]. $\int$ $\tan x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\ln |\cos x|$ $+$ $C$

[D]. $\int$ $\tan x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- \ln |\cos x|$

答案

$$\int \textcolor{Red}{\tan x} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{- \ln |\cos x|} + \textcolor{Yellow}{C}.$$