解决 0/0 型极限的三种方法

一、前言

本文着重总结了解决高等数学题目中 $\frac{0}{0}$ 型极限的 3 种方法，以及相关的解析和例题。

二、正文

解决 $\frac{0}{0}$ 型极限问题，有以下三种方法：

方法 1：洛必达法则

该法则以法国数学家纪尧姆·德·洛必达的名字命名，但实际上是由瑞士数学家约翰·伯努利所发现。

知识点解析

• 《应用洛必达法则的三点注意事项》
• 《洛必达法则的适用条件》
• 《应用洛必达法则的三个前提条件》
• 《洛必达法则的结论》

例题

方法 2：等价无穷小代换

英裔爱尔兰哲学家乔治·贝克莱说无穷小量的特性就是：“既不是有限量，也不是无限小，又不是零”。

知识点解析

• 《等价无穷小的组合变体：以 $(1+x{)}^{\alpha }$ $\sim$ $\alpha x$ 为例》
• 《一招解决所有 $1–(\cos cx{)}^{\frac{b}{a}}$ 类型的等价无穷小》
• 《将 $e^x–1$ 和 $a^x–1$ 的等价无穷小结合记忆》
• 《借助泰勒定理记忆等价无穷小：$e^x–1$ $\sim$ $x$》
• 《什么是等价无穷小》
• 《什么是 $k$ 阶无穷小》
• 《什么是同阶无穷小》
• 《什么是低阶无穷小》
• 《什么是高阶无穷小》
• 《高等数学中常用的等价无穷小》
• 《常用的基本极限汇总》

例题

方法 3：泰勒公式

布鲁克·泰勒是一名英国数学家，主要贡献是发现了泰勒公式和泰勒级数。

知识点解析

• 《借助泰勒定理记忆等价无穷小：$e^x–1$ $\sim$ $x$》
• 《用逐步简化的方法记忆泰勒公式（泰勒定理）》
• 《函数的幂级数展开：泰勒级数》
• 《泰勒公式的定义》
• 《函数的幂级数展开：麦克劳林级数》

例题

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