2016年考研数二第07题解析

题目

编号:A2016207

设 $A$, $B$ 为可逆矩阵,且 $A$ 与 $B$ 相似,则下列结论错误的是 $?$

$$
A. A^{\top} 与 B^{\top} 相似
$$

$$
B. A^{-1} 与 B^{-1} 相似
$$

$$
C. A + A^{\top} 与 B + B^{\top} 相似
$$

$$
D. A + A^{-1} 与 B + B^{-1} 相似
$$

解析

$A$ 项:

$$
P^{-1}AP \sim B \Rightarrow
$$

$$
(P^{-1}AP)^{\top} \sim B^{\top} \Rightarrow
$$

$$
p^{\top}A^{\top}(P^{-1})^{\top} \sim B^{\top} \Rightarrow
$$

$$
P^{\top}A^{\top}(P^{\top})^{-1} \sim B^{\top}.
$$

又由于可逆矩阵的转置矩阵也可逆,因此:

$$
A^{\top} \sim B^{\top}.
$$

于是,$A$ 项正确。

$B$ 项:

$$
P^{-1}AP \sim B \Rightarrow
$$

$$
(P^{-1}AP)^{-1} \sim B^{-1} \Rightarrow
$$

$$
P^{-1} A^{-1} (P^{-1})^{-1} \sim B^{-1} \Rightarrow
$$

$$
P^{-1} A^{-1} P \sim B^{-1}.
$$

又由于可逆矩阵的逆矩阵也可以,因此:

$$
A^{-1} \sim B^{-1}.
$$

于是,$B$ 项正确。

$C$ 项:

由前面的分析可知:

$$
P^{-1}AP \sim B. ①
$$

$$
P^{\top}A^{\top}(P^{\top})^{-1} \sim B^{\top}. ②
$$

但是,除非在一些特殊情况下,否则不会存在:

$$
P^{-1} = P^{\top};
$$

$$
P = (P^{\top})^{-1}.
$$

因此,通过 $①$, $②$ 两式不能得到 $A + A^{\top} 与 B + B^{\top}$ 相似的结论,$C$ 项错误。

$D$ 项:

$$
P^{-1}AP \sim B \Rightarrow
$$

$$
(P^{-1} A P)^{-1} \sim B^{-1} \Rightarrow
$$

$$
P^{-1} A^{-1} (P^{-1})^{-1} \sim B^{-1} \Rightarrow
$$

$$
P^{-1} A^{-1} P \sim B^{-1}
$$

于是,我们现在有:

$$
P^{-1}AP \sim B. ③
$$

$$
P^{-1} A^{-1} P \sim B^{-1} ④
$$

由 $③$, $④$ 两式可知:

$$
P^{-1} (A + A^{-1}) P \sim B + B^{-1}.
$$

于是,$D$ 项正确。

综上可知,正确选项为 $C$.

EOF