2010 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析(三种方法)

题目

极限 $\lim_{x \rightarrow \infty}[\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}]^{x}=$()

$$( A ) 1.$$

$$( B ) e.$$

$$( C ) e^{a-b}.$$

$$( D ) e^{b-a}.$$

解析

方法 一

观察可以发现,本题是 $1^{\infty}$ 型不定式,处理该种类型的不定式可以尝试使用“两个重要极限”中的第二个重要极限:

$$\lim_{x \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}=e;$$
$$\lim_{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e;$$
推广之,有:
一般地,$\lim \square=0 \Rightarrow \lim (1+\square)^{\frac{1}{\square}}=e.$

于是,我们有如下计算过程:

$$\lim_{x \rightarrow \infty} [\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}]^{x}=$$

$$\lim_{x \rightarrow \infty}[1+\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}-1]^{x}=$$

$$\lim_{x \rightarrow \infty}[1+\frac{x^{2}-(x-a)(x+b)}{(x-a)(x+b)}]^{x}=$$

$$\lim_{x \rightarrow \infty}[1+\frac{x^{2}-(x-a)(x+b)}{(x-a)(x+b)}]^{\frac{(x-a)(x+b)}{x^{2}-(x-a)(x+b)} \cdot x \cdot \frac{x^{2}-(x-a)(x+b)}{(x-a)(x+b)}}=$$

$$\lim_{x \rightarrow \infty}e^{x \cdot \frac{x^{2}-(x^{2}+bx-ax-ab)}{x^{2}+bx-ax-ab}}=$$

$$\lim_{x \rightarrow \infty}e^{x \cdot \frac{x^{2}-x^{2}-bx+ax+ab}{x^{2}+bx-ax-ab}}=$$

$$\lim_{x \rightarrow \infty}e^{\frac{x^{2} \cdot (a-b)+abx}{x^{2}+bx-ax-ab}}=e^{a-b}.$$

方法 二

对于类似本题这样的幂指函数,我们还可以使用“e 抬起法”求解。

步骤如下:

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} [\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}]^{x}=$$

$$\lim_{x \rightarrow \infty}e^{\ln[\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}]^{x}}=\lim_{x \rightarrow \infty}e^{x \ln \frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}}.
$$

由于在 $x \rightarrow \infty$ 时,$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)} =$ $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(x^{2})’}{[(x-a)(x+b)]’} =$ $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x}{2x+b-a} =$ $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(2x)’}{(2x+b-a)’} =$ $\frac{2}{2} = 1.$

我们知道,当 $\ln$ 函数里面的变量极限为 $1$ 的时候,我们可以用 $\ln (1+x) \sim x$ 这个等价无穷小,因为把 $\ln$ 函数里面的变量减去 $1$ (为了保持不变再加上 $1$) 后就有等于 $0$ 的部分存在了,就满足了使用等价无穷小的条件。

于是:

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} x \ln \frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)} = $$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} x \ln[1 + \frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)} – 1] =$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} x \cdot [\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)} – 1] =$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} x \cdot \frac{x^{2} – (x-a)(x+b)}{(x-a)(x+b)} =$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} x \cdot \frac{(a-b)x+ab}{(x-a)(x+b)} =$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(a-b)x^{2}}{x^{2}} = a-b.
$$

于是:

$$
\lim_{x \rightarrow \infty}e^{x \ln \frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}} = e^{a-b}.
$$

方法三

除了像方法二中一样在计算的一开始就使用“e 抬起法”之外,还可以在对原式化简变形之后再使用“e 抬起法”。在本解法中,同样涉及对等价无穷小替换的使用,步骤如下:

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} [\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}]^{x} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} [\frac{(x-a)(x+b)}{x^{2}}]^{-x} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} [(\frac{x-a}{x}) \cdot (\frac{x+b}{x})]^{-x} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty}(1-\frac{a}{x})^{-x} \cdot \lim_{x \rightarrow \infty} (1+\frac{b}{x})^{-x}.
$$

到这里,就出现了幂指函数,于是,接下来使用“e 抬起法”:

$$
\lim_{x \rightarrow \infty}(1-\frac{a}{x})^{-x} \cdot \lim_{x \rightarrow \infty} (1+\frac{b}{x})^{-x} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} e^{-x \cdot \ln (1-\frac{a}{x})} \cdot \lim_{x \rightarrow \infty} e^{-x \ln (1+\frac{b}{x})}.
$$

由于,$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} = 0.$

而当 $\frac{1}{x} \rightarrow 0$ 时,$\frac{a}{x}$ 和 $\frac{b}{x}$ 都相当于有限个无穷小的乘积,结果仍然是无穷小,于是,我们可以使用如下等价无穷小替换:

$$
\square \rightarrow 0 时, \ln(1 – \square) \sim \square
$$

于是:

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} e^{-x \cdot \ln (1-\frac{a}{x})} \cdot \lim_{x \rightarrow \infty} e^{-x \ln (1+\frac{b}{x})} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty}e^{-x(-\frac{a}{x})} \cdot \lim_{x \rightarrow \infty} e^{-x(\frac{b}{x})} = e^{a} \cdot e^{-b} = e^{a-b}.
$$

EOF


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