题目
极限 $\lim_{x \rightarrow \infty}[\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}]^{x}=$（）
$$( A ) 1.$$
$$( B ) e.$$
$$( C ) e^{a-b}.$$
$$( D ) e^{b-a}.$$
解析
方法 一
观察可以发现，本题是 $1^{\infty}$ 型不定式，处理该种类型的不定式可以尝试使用“两个重要极限”中的第二个重要极限：
$$\lim_{x \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}=e;$$
$$\lim_{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e;$$
推广之，有：
一般地，$\lim \square=0 \Rightarrow \lim (1+\square)^{\frac{1}{\square}}=e.$
于是，我们有如下计算过程：
$$\lim_{x \rightarrow \infty} [\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}]^{x}=$$
$$\lim_{x \rightarrow \infty}[1+\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}-1]^{x}=$$
$$\lim_{x \rightarrow \infty}[1+\frac{x^{2}-(x-a)(x+b)}{(x-a)(x+b)}]^{x}=$$
$$\lim_{x \rightarrow \infty}[1+\frac{x^{2}-(x-a)(x+b)}{(x-a)(x+b)}]^{\frac{(x-a)(x+b)}{x^{2}-(x-a)(x+b)} \cdot x \cdot \frac{x^{2}-(x-a)(x+b)}{(x-a)(x+b)}}=$$
$$\lim_{x \rightarrow \infty}e^{x \cdot \frac{x^{2}-(x^{2}+bx-ax-ab)}{x^{2}+bx-ax-ab}}=$$
$$\lim_{x \rightarrow \infty}e^{x \cdot \frac{x^{2}-x^{2}-bx+ax+ab}{x^{2}+bx-ax-ab}}=$$
$$\lim_{x \rightarrow \infty}e^{\frac{x^{2} \cdot (a-b)+abx}{x^{2}+bx-ax-ab}}=e^{a-b}.$$
方法 二
对于类似本题这样的幂指函数，我们还可以使用“e 抬起法”求解。
步骤如下：
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} [\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}]^{x}=$$
$$\lim_{x \rightarrow \infty}e^{\ln[\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}]^{x}}=\lim_{x \rightarrow \infty}e^{x \ln \frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}}.
$$
由于在 $x \rightarrow \infty$ 时，$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)} =$ $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(x^{2})’}{[(x-a)(x+b)]’} =$ $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x}{2x+b-a} =$ $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(2x)’}{(2x+b-a)’} =$ $\frac{2}{2} = 1.$
我们知道，当 $\ln$ 函数里面的变量极限为 $1$ 的时候，我们可以用 $\ln (1+x) \sim x$ 这个等价无穷小，因为把 $\ln$ 函数里面的变量减去 $1$ (为了保持不变再加上 $1$) 后就有等于 $0$ 的部分存在了，就满足了使用等价无穷小的条件。
于是：
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} x \ln \frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)} = $$
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} x \ln[1 + \frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)} – 1] =$$
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} x \cdot [\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)} – 1] =$$
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} x \cdot \frac{x^{2} – (x-a)(x+b)}{(x-a)(x+b)} =$$
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} x \cdot \frac{(a-b)x+ab}{(x-a)(x+b)} =$$
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(a-b)x^{2}}{x^{2}} = a-b.
$$
于是：
$$
\lim_{x \rightarrow \infty}e^{x \ln \frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}} = e^{a-b}.
$$
方法三
除了像方法二中一样在计算的一开始就使用“e 抬起法”之外，还可以在对原式化简变形之后再使用“e 抬起法”。在本解法中，同样涉及对等价无穷小替换的使用，步骤如下：
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} [\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}]^{x} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} [\frac{(x-a)(x+b)}{x^{2}}]^{-x} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} [(\frac{x-a}{x}) \cdot (\frac{x+b}{x})]^{-x} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow \infty}(1-\frac{a}{x})^{-x} \cdot \lim_{x \rightarrow \infty} (1+\frac{b}{x})^{-x}.
$$
到这里，就出现了幂指函数，于是，接下来使用“e 抬起法”：
$$
\lim_{x \rightarrow \infty}(1-\frac{a}{x})^{-x} \cdot \lim_{x \rightarrow \infty} (1+\frac{b}{x})^{-x} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} e^{-x \cdot \ln (1-\frac{a}{x})} \cdot \lim_{x \rightarrow \infty} e^{-x \ln (1+\frac{b}{x})}.
$$
由于，$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} = 0.$
而当 $\frac{1}{x} \rightarrow 0$ 时，$\frac{a}{x}$ 和 $\frac{b}{x}$ 都相当于有限个无穷小的乘积，结果仍然是无穷小，于是，我们可以使用如下等价无穷小替换：
$$
\square \rightarrow 0 时, \ln(1 – \square) \sim \square
$$
于是：
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} e^{-x \cdot \ln (1-\frac{a}{x})} \cdot \lim_{x \rightarrow \infty} e^{-x \ln (1+\frac{b}{x})} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow \infty}e^{-x(-\frac{a}{x})} \cdot \lim_{x \rightarrow \infty} e^{-x(\frac{b}{x})} = e^{a} \cdot e^{-b} = e^{a-b}.
$$
EOF