一、前言 
在本文中，荒原之梦网提供了两道“由一个形式的极限推导另一个形式的极限”的典型题目——
对于这类问题，我们有两种解决思路：
- 由已知式推导未知式；
- 由未知式反推已知式。
在本文中，我们将看到对上面这两种思路的应用。
二、正文 
例题一
难度评级：
已知 $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{\ln [1+x+\frac{f(x)}{x}]}{x}$ $=$ $3$, 则 $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{f(x)}{x^{2}}$ $=$ $?$
当 $x \rightarrow 0$ 时：
$$
\frac{\ln [1+x+\frac{f(x)}{x}]}{x} = 3 \Rightarrow
$$
$$
\ln [1+x+\frac{f(x)}{x}] \sim 3x \Rightarrow
$$
$$
x+\frac{f(x)}{x} \sim 3x \Rightarrow
$$
$$
\frac{f(x)}{x} \sim 2x \Rightarrow
$$
$$
\frac{f(x)}{x^{2}} = 2 \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}} = 2.
$$
例题二
难度评级：
已知 $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{\ln (1 – x) + xf(x)}{x^{2}}$ $=$ $0$, 则 $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{f(x) – 1}{x}$ $=$ $?$
注意：在本题中，我们不能使用洛必达法则，因为题目中没有说函数 $f(x)$ 存在导函数。
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解法 1
当 $x \rightarrow 0$ 时：
$$
\frac{f(x) – 1}{x} =
$$
$$
\frac{xf(x) – x}{x^{2}} =
$$
$$
\frac{xf(x) – x + \ln(1-x) – \ln (1-x)}{x^{2}} =
$$
$$
\frac{xf(x) + \ln(1-x) – [x + \ln (1-x)]}{x^{2}} =
$$
$$
\frac{xf(x) + \ln(1-x) }{x^{2}} – \frac{ [x + \ln (1-x)]}{x^{2}} =
$$
$$
0 – \frac{ x + \ln (1-x)}{x^{2}} =
$$
$$
\frac{ (-x) – \ln [1 + (-x)]}{x^{2}} =
$$
$$
\frac{ \frac{1}{2}(-x)^{2} }{x^{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) – 1}{x} = \frac{1}{2}.
$$
Next
解法 2
当 $x \rightarrow 0$ 时：
$$
\frac{\ln (1 – x) + xf(x)}{x^{2}} = 0 \Rightarrow
$$
$$
\frac{\ln (1 – x) + xf(x) + x – x}{x^{2}} = 0 \Rightarrow
$$
$$
\frac{x + \ln (1 – x) + xf(x) – x}{x^{2}} = 0 \Rightarrow
$$
$$
\frac{-[- x – \ln (1 – x)] }{x^{2}} + \frac{xf(x) – x}{x^{2}} = 0 \Rightarrow
$$
$$
\frac{ -\frac{1}{2}(-x)^{2} }{x^{2}} + \frac{xf(x) – x}{x^{2}} = 0 \Rightarrow
$$
$$
\frac{-1}{2} + \frac{f(x) – 1}{x} = 0 \Rightarrow
$$
$$
\frac{f(x) – 1}{x} = \frac{1}{2} \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) – 1}{x} = \frac{1}{2}.
$$
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