分子或分母中有极限和数字的加减法时不能直接把极限值代入式子中参与运算——但只有极限没有数字的时候可以代入极限值参与运算

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处可导且 $f(0) = 1$, $f^{\prime}(0) = 3$, 则 $I = \lim _{n \rightarrow \infty}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)\right]^{\frac{\frac{1}{n}}{1 – \cos \frac{1}{n}}} = ?$

难度评级：

原标题：《当函数只说了在一点处可导时，不要使用求导法则进行求导运算：要使用导数的定义对特定的点进行求导》

二、解析

正确的解法 01

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)\right]^{\frac{\frac{1}{n}}{1 – \cos \frac{1}{n}}} \Rightarrow
$$

Next

令 $x = \frac{1}{n}$ $\Rightarrow$

$$
\lim _{x \rightarrow 0}\left[f\left(x\right)\right]^{\frac{x}{1 – \cos x}}.
$$

由于 $f(0) = 1$, 于是：

$$
\lim _{x \rightarrow 0}\left[f\left(x\right)\right]^{\frac{x}{1 – \cos x}} =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0}\left[f\left(x\right) – 1 + 1\right]^{\frac{x}{1 – \cos x}} =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0}\left[f\left(x\right) – 1 + 1\right]^{ \frac{1}{f\left(x\right) – 1} \cdot \frac{f\left(x\right) – 1}{1} \cdot \frac{x}{1 – \cos x}} =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0} e ^{ \frac{f\left(x\right) – 1}{1} \cdot \frac{x}{1 – \cos x}} =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0} e ^{ \frac{x f\left(x\right) – x}{1 – \cos x}} =
$$

$$
e ^{ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f\left(x\right) – x}{1 – \cos x}} \Rightarrow
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f\left(x\right) – x}{1 – \cos x} \Rightarrow
$$

本题严格地说是不能使用洛必达法则介入运算的，因为使用洛必达法则要求函数不能只在一点处可导，还需要在该点的邻域内可导或者说需要导数是连续的。
但是，对于像本题这样的抽象函数，在题目没有说明该抽象函数是否在该点邻域内可导的情况下，我们可以适当的补充一些条件后再进行计算（选择或者填空题可以这样做，解答题一般不能这样做）——
这里我们可以补充的条件就是让本题中的抽象函数 $f(x)$ 在 $x = 0$ 点附近的邻域内也可导，于是就可以调用洛必达法则参与运算了。

Next

错误 的洛必达运算过程：
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(x\right) + x f^{\prime} \left(x\right) – 1}{\sin x} =
$$
直接在分子中代入极限值 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x) = 1$ 和 $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x) = 3$:
$$
\textcolor{orangered}{
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1 + 3x – 1}{x} } =
$$
洛必达运算：
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3x}{x} = 3
$$

Next

上面的洛必达运算错误的原因就在于分子或分母中有极限和数字的加减法时不能直接把极限值代入式子中参与运算——但是，只有极限没有数字的时候可以代入极限值参与运算，例如，在 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime} \left(x\right)}{\cos x}$ 中，分母 $\cos 0 = 1$ 此时就可以直接将值代入参与运算。

Next

正确 的洛必达运算过程：
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(x\right) + x f^{\prime} \left(x\right) – 1}{\sin x} =
$$
拆分：
$$
\textcolor{springgreen}{
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(x\right) – 1}{\sin x} + \lim _{x \rightarrow 0} \frac{ x f^{\prime} \left(x\right) }{\sin x} } =
$$
洛必达运算：
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime} \left(x\right)}{\cos x} + \lim _{x \rightarrow 0} \frac{ f^{\prime} \left(x\right) }{1} = 3 + 3 = 6
$$

于是：

$$
e ^{ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f\left(x\right) – x}{1 – \cos x}} = e^{6}\Rightarrow
$$

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)\right]^{\frac{\frac{1}{n}}{1 – \cos \frac{1}{n}}} = e^{6}.
$$

正确的解法 02

$$
\lim _{x \rightarrow 0}\left[f\left(x\right)\right]^{\frac{x}{1 – \cos x}} =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0}\left[f\left(x\right) – 1 + 1\right]^{\frac{x}{1 – \cos x}} =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0}\left[f\left(x\right) – 1 + 1\right]^{ \frac{1}{f\left(x\right) – 1} \cdot \frac{f\left(x\right) – 1}{1} \cdot \frac{x}{1 – \cos x}} =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0} e ^{ \frac{f\left(x\right) – 1}{1} \cdot \frac{x}{1 – \cos x}} =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0} e ^{ \frac{x f\left(x\right) – x}{1 – \cos x}} =
$$

Next

$$
e ^{ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f\left(x\right) – x}{1 – \cos x}} \Rightarrow
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f\left(x\right) – x}{1 – \cos x} =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f\left(x\right) – x}{\frac{1}{2} x^{2} } =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(x\right) – 1}{\frac{1}{2} x } =
$$

$$
2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(x\right) – f(0) }{ x – 0 } \Rightarrow
$$

Next

根据函数在一点处导数的定义 $\Rightarrow$

$$
2 f^{\prime} (0) = 6 \Rightarrow
$$

$$
e ^{ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f\left(x\right) – x}{1 – \cos x}} = e^{6} \Rightarrow
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0}\left[f\left(x\right)\right]^{\frac{x}{1 – \cos x}} = e^{6}.
$$

正确的解法 03

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \left[f\left(x\right)\right]^{\frac{x}{1 – \cos x}} =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0} e^{\frac{x}{1 – \cos x} \ln f(x)} =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0} e^{\frac{x}{\frac{1}{2} x^{2}} \ln f(x)} =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0} e^{\frac{1}{\frac{1}{2} x} \ln f(x)} =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0} e^{2 \cdot \frac{\ln f(x)}{x} } =
$$

Next

$$
\lim _{x \rightarrow 0} e^{2 \cdot \frac{\ln f(x) – \ln f(0)}{x – 0} } =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0} e^{2 \cdot [\ln f(0)]^{\prime} } =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0} e^{2 \cdot \frac{f^{\prime}(0)}{f(0)} } =
$$

$$
\lim _{x \rightarrow 0} e^{2 \cdot \frac{3}{1} } = e^{6}.
$$

---

感谢王杰彬同学（湖南大学）对本文的贡献。