函数 $f(x)$ $=$ $\frac{x}{1 – e^{\frac{x}{1-x}}}$ 有无间断点并讨论间断点的类型

一、题目题目 - 荒原之梦

下面的函数有无间断点,若有间断点,则分类讨论其间断点的类型:

$$
f(x) = \frac{x}{1 – e^{\frac{x}{1-x}}}
$$

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

首先,该函数是一个含有分式的函数,因此,可以从分母不能等于零的角度讨论其间断点,即:

$$
1 – x \neq 0 \Rightarrow x \neq 1.
$$

$$
1 – e^{\frac{x}{1-x}} \neq 0 \Rightarrow x \neq 0.
$$

Next - 荒原之梦 Next Next - 荒原之梦

一、当 $x$ $=$ $1$ 时

$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} (1-x) \rightarrow 0^{-} \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x}{1-x} \rightarrow – \infty \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} e^{\frac{x}{1-x}} \rightarrow 0 \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x}{1 – e^{\frac{x}{1-x}}} = 1.
$$

Next - 荒原之梦 Next Next - 荒原之梦

$$
\lim_{x \rightarrow 1^{-}} (1-x) \rightarrow 0^{+} \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{x}{1-x} \rightarrow + \infty \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 1^{-}} e^{\frac{x}{1-x}} \rightarrow + \infty \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{x}{1 – e^{\frac{x}{1-x}}} = 0.
$$

因此,$x$ $=$ $1$ 是函数 $f(x)$ 的跳跃间断点。

Next - 荒原之梦 Next Next - 荒原之梦

二、当 $x$ $=$ $0$ 时

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{1 – e^{\frac{x}{1-x}}} \Rightarrow
$$

应用等价无穷小 $\Rightarrow$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{- \frac{x}{1-x}} \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \Big( x \cdot \frac{1-x}{-x} \Big) \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} (x – 1) = -1.
$$

因此,$x$ $=$ $0$ 是函数 $f(x)$ 的可去断点。

Next - 荒原之梦 Next Next - 荒原之梦

综上可知,函数 $f(x)$ 存在两个间断点,其中,$x$ $=$ $1$ 是函数 $f(x)$ 的跳跃间断点,$x$ $=$ $0$ 是函数 $f(x)$ 的可去断点。


荒原之梦考研数学思维导图
荒原之梦考研数学思维导图

高等数学箭头 - 荒原之梦

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。

线性代数箭头 - 荒原之梦

以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。

特别专题箭头 - 荒原之梦

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。

荒原之梦考研数学网 | 让考场上没有难做的数学题!

荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress