一、题目![题目 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/f68a9e590526998388b0f9b71bd5d3f73dda4ed9764819fe8f36488fa537e9b9499f465fd201d7c117b8901c3ad071915a34a688058a739ebc39835753a8d7cc.svg)
下面的函数有无间断点,若有间断点,则分类讨论其间断点的类型:
$$
f(x) = \frac{x}{1 – e^{\frac{x}{1-x}}}
$$
难度评级:
二、解析 ![解析 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/6fff698aa5c66c6c7a143e3d2a00fa8ee7eab76be5360d89eb43a03143848e8cd60377c76bf830c93ec6603be5af661d9c52238834792ea548bf14de10b05ad9.svg)
首先,该函数是一个含有分式的函数,因此,可以从分母不能等于零的角度讨论其间断点,即:
$$
1 – x \neq 0 \Rightarrow x \neq 1.
$$
$$
1 – e^{\frac{x}{1-x}} \neq 0 \Rightarrow x \neq 0.
$$
Next
一、当 $x$ $=$ $1$ 时
$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} (1-x) \rightarrow 0^{-} \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x}{1-x} \rightarrow – \infty \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} e^{\frac{x}{1-x}} \rightarrow 0 \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x}{1 – e^{\frac{x}{1-x}}} = 1.
$$
Next
$$
\lim_{x \rightarrow 1^{-}} (1-x) \rightarrow 0^{+} \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{x}{1-x} \rightarrow + \infty \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 1^{-}} e^{\frac{x}{1-x}} \rightarrow + \infty \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{x}{1 – e^{\frac{x}{1-x}}} = 0.
$$
因此,$x$ $=$ $1$ 是函数 $f(x)$ 的跳跃间断点。
Next
二、当 $x$ $=$ $0$ 时
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{1 – e^{\frac{x}{1-x}}} \Rightarrow
$$
应用等价无穷小 $\Rightarrow$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{- \frac{x}{1-x}} \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \Big( x \cdot \frac{1-x}{-x} \Big) \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} (x – 1) = -1.
$$
因此,$x$ $=$ $0$ 是函数 $f(x)$ 的可去断点。
Next
综上可知,函数 $f(x)$ 存在两个间断点,其中,$x$ $=$ $1$ 是函数 $f(x)$ 的跳跃间断点,$x$ $=$ $0$ 是函数 $f(x)$ 的可去断点。
高等数学![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。
线性代数![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。
特别专题![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。