函数 $f(x)$ $=$ $\frac{x}{1 – e^{\frac{x}{1-x}}}$ 有无间断点并讨论间断点的类型

一、题目

下面的函数有无间断点，若有间断点，则分类讨论其间断点的类型：

$$
f(x) = \frac{x}{1 – e^{\frac{x}{1-x}}}
$$

难度评级：

二、解析

首先，该函数是一个含有分式的函数，因此，可以从分母不能等于零的角度讨论其间断点，即：

$$
1 – x \neq 0 \Rightarrow x \neq 1.
$$

$$
1 – e^{\frac{x}{1-x}} \neq 0 \Rightarrow x \neq 0.
$$

Next

一、当 $x$ $=$ $1$ 时

$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} (1-x) \rightarrow 0^{-} \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x}{1-x} \rightarrow – \infty \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} e^{\frac{x}{1-x}} \rightarrow 0 \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x}{1 – e^{\frac{x}{1-x}}} = 1.
$$

Next

$$
\lim_{x \rightarrow 1^{-}} (1-x) \rightarrow 0^{+} \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{x}{1-x} \rightarrow + \infty \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 1^{-}} e^{\frac{x}{1-x}} \rightarrow + \infty \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{x}{1 – e^{\frac{x}{1-x}}} = 0.
$$

因此，$x$ $=$ $1$ 是函数 $f(x)$ 的跳跃间断点。

Next

二、当 $x$ $=$ $0$ 时

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{1 – e^{\frac{x}{1-x}}} \Rightarrow
$$

应用等价无穷小 $\Rightarrow$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{- \frac{x}{1-x}} \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \Big( x \cdot \frac{1-x}{-x} \Big) \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} (x – 1) = -1.
$$

因此，$x$ $=$ $0$ 是函数 $f(x)$ 的可去断点。

Next

综上可知，函数 $f(x)$ 存在两个间断点，其中，$x$ $=$ $1$ 是函数 $f(x)$ 的跳跃间断点，$x$ $=$ $0$ 是函数 $f(x)$ 的可去断点。

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