题目
若 $\lim_{x \rightarrow 0} (e^{x} + ax^{2} + bx)^{\frac{1}{x^{2}}} = 1$, 则 $?$
$$A. a = \frac{1}{2}, b = -1$$
$$B. a = – \frac{1}{2}, b = -1$$
$$C. a = \frac{1}{2}, b = 1$$
$$D. a = – \frac{1}{2}, b = 1$$
解析
由于当 $x \rightarrow 0$ 时，$e^{x} + ax^{2} + bx \rightarrow 0$ 且 $\frac{1}{x^{2}} \rightarrow \infty$, 符合 $1^{\infty}$ 的形式，因此，可能会用到下面这个公式：
$$
\lim_{x \rightarrow 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{x})^{x} = e.
$$
于是，我们就要往上面的公式的形式上凑。
$$
\lim_{x \rightarrow 0} (e^{x} + ax^{2} + bx)^{\frac{1}{x^{2}}} = 1 \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} [ (1+ e^{x} + ax^{2} +bx -1) ^\frac{1}{e^{x} + ax^{2} +bx -1}]^{\frac{e^{x} + ax^{2} +bx -1}{x^{2}}} = 1 \Rightarrow
$$
$$
e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} + ax^{2} +bx -1}{x^{2}}} = 1 \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} + ax^{2} +bx -1}{x^{2}} =0 \Rightarrow 洛必达 \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} + 2ax + b}{2x} = 0 \Rightarrow 洛必达 \Rightarrow ①
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} + 2a}{2} = 0
$$
由于“ $0$ 除以 ($0$ 做除数) 任何不是 $0$ 的数都得 $0$ ”, 因此：
$$e^{x} + 2a = 0$$
又 $x \rightarrow 0$, 所以有：
$$
1 + 2a = 0.
$$
即：
$$
a = – \frac{1}{2}
$$
把 $a = – \frac{1}{2}$ 代入 $①$ 式得：
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} – x + b}{2x} = 0 \Rightarrow
$$
$$
\frac{1-0+b}{0}=0 \Rightarrow
$$
$$
\frac{1+b}{0}=0 ②
$$
如果 $1+b \neq 0$, 则 $②$ 式违背了数学基本原理，因此，必须构成 $\frac{0}{0}$ 极限未定式才可以，于是有：
$$
1+b=0
$$
即：
$$
b=-1
$$
综上可知，$a=-\frac{1}{2}, b=-1$, 正确选项为 $B$.
EOF