使用麦克劳林公式（泰勒公式）求解函数 n 阶导

一、题目

已知 $f(x)$ $=$ $x^2$ $\mathrm{e}^{3 x}$, 则 $f^{(n)}(0)$ $=$ $?$

难度评级：

二、解析

本文中会用到的麦克劳林公式可以参考 这篇 和 这篇 文章。

涉及 $x = 0$ 处 $n$ 阶导的问题可以考虑使用麦克劳林公式，如果要求解 $f^{(n)}(0)$, 则只需要使用麦克劳林公式表达出 $\frac{f^{(n)}(0)}{n!} \cdot x ^{n}$ 即可。

Next

但是，由于 $f(x)$ $=$ $x^2$ $\mathrm{e}^{3 x}$ 可以看作是由两个函数 $x^{2}$ 和 $e^{3x}$ 相乘得到的，直接进行麦克劳林展开计算量太大，因此，我们可以令：

$$
g(x) = e^{x}
$$

于是：

$$
f(x) = x^{2} e^{3x} \Rightarrow
$$

$$
f(x) = x^{2} g(x)
$$

Next

根据麦克劳林公式：

$$
g(0) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{g^{(n)}(0)}{n!} x^{n} \Rightarrow
$$

$$
g(0) = 1 + \frac{3}{1!}x + \frac{3^{2}}{2!} x^2 + \cdots + \textcolor{orange}{\frac{3^{n-2}}{(n-2)!} x^{n-2} } + o(x^{n-2})
$$

在上面的式子中，只需要将 $g(0)$ 展开到第 $n-2$ 项即可，因为要变成 $f(x)$ 还需要再乘以一个 $x^{2}$, 这样一来，$g(0)$ 的第 $n-2$ 项其实就是 $f(0)$ 的第 $n$ 项。

Next

于是：

$$
f(0) = x^{2} \Big[ 1 + \frac{3}{1!}x + \frac{3^{2}}{2!} x^2 + \cdots + \textcolor{orange}{\frac{3^{n-2}}{(n-2)!} x^{n-2} } + o(x^{n-2}) \Big] \Rightarrow
$$

$$
f(0) = x^{2} + \frac{3}{1!} x^{3} + \frac{3^{2}}{2!} x^{4} + \cdots + \textcolor{white}{\frac{3^{n-2}}{(n-2)!} x^{n} } + o(x^{n-2}) \Rightarrow
$$

$$
f(0) = x^{2} + \frac{3}{1!} x^{3} + \frac{3^{2}}{2!} x^{4} + \cdots + \textcolor{red}{\frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^{n} } + o(x^{n-2}).
$$

Next

即：

$$
\frac{f^{(n)}(0)}{n!} = \frac{3^{n-2}}{(n-2)!} \Rightarrow
$$

$$
f^{(n)}(0) = \frac{3^{n-2} \cdot n! }{(n-2)!} \Rightarrow
$$

$$
f^{(n)}(0) = \frac{3^{n-2} \cdot n(n-1)(n-2)! }{(n-2)!} = 3^{n-2} n(n-1).
$$

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