一、题目
已知函数 $f(x)$ $=$ $\frac{1}{1+x^{2}}$, 则 $f^{(3)}(0)$ $=$
二、解析
方法一
本题可以借助函数奇偶性的相关性质解出。
由于：
$f(x)$ $=$ $\frac{1}{1+x^{2}}$
$f(x)$ $=$ $\frac{1}{1+x^{2}}$
$f(-x)$ $=$ $\frac{1}{1+(-x)^{2}}$ $=$ $\frac{1}{1+x^{2}}$
因此：
$f(x)$ $=$ $f(-x)$
于是，我们知道，函数 $f(x)$ 是一个偶函数。
接下来，根据“偶函数的导数是奇函数，奇函数的导数是偶函数”的规律，我们知道，函数 $f^{(3)}(x)$ 是一个奇函数。
又由于，如果一个奇函数 $g(x)$ 在原点处$($ $x$ $=$ $0$ $)$有定义，则 $g(x)$ $=$ $0$, 因此有：
$f^{(3)}(0)$ $=$ $0$
综上可知，本题的答案就是：$0$.
方法二
本题也可以借助泰勒级数计算。
本题要求解的是在 $x$ $=$ $0$ 时，$f(x)$ 的三次导函数的函数值。我们知道，麦克劳林级数就是函数在 $x$ $=$ $0$ 处的泰勒级数，是泰勒级数的一个特例。于是，这里我们可以使用麦克劳林级数对原式进行级数展开。
麦克劳林级数中有一个关于几何级数的公式，如下：
$\frac{1}{1-x}$ $=$ $\sum_{0}^{\infty}$ $x^{n}$, $|x|$ $<$ $1$
当我们把上述公式中的 $x$ 替换成 $-x^{2}$ 后，$f(x)$ 就可以使用上述几何级数的公式表达，如下：
$f(x)$ $=$ $\frac{1}{1+x^{2}}$ $=$ $\frac{1}{1-(-x^{2})}$ $=$ $\sum_{0}^{\infty}$ $(-x^{2})^{n}$ $=$ $\sum_{0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $x^{2n}$
之后，对 $f(x)$ 求导：
$f'(x)$ $=$ $\sum_{0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $2n$ $\cdot$ $x^{2n-1}$
$f”(x)$ $=$ $\sum_{0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $2n$ $\cdot$ $(2n-1)$ $\cdot$ $x^{2n-2}$
$f”'(x)$ $=$ $\sum_{0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $2n$ $\cdot$ $(2n-1)$ $\cdot$ $(2n-2)$ $\cdot$ $x^{2n-3}$
于是，$f”'(0)=0$.
综上可知，本题的答案就是： $0$.
EOF