借助泰勒定理记忆等价无穷小:$e^{x}$ $-$ $1$ $\sim$ $x$

一、问题描述 问题描述 - 荒原之梦

当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时,有一个重要的等价无穷小:

$$
\textcolor{orange}{e^{x} – 1 \sim x}
$$

但是,有时候我们可能会将该等价无穷小错记成下面这种形式:

$$
\textcolor{gray}{1 – e^{x} \sim x}
$$

二、解决方案 解决方案 - 荒原之梦

那么,如何牢固的掌握 $\textcolor{orange}{e^{x}}$ $\textcolor{orange}{-}$ $\textcolor{orange}{1}$ $\textcolor{orange}{\sim}$ $\textcolor{orange}{x}$ 这种正确的等价无穷小的形式呢——

可以借助泰勒定理(或者说“泰勒公式”)辅助记忆等价无穷小 $e^{x}$ $-$ $1$ $\sim$ $x$.

如果对泰勒公式不熟悉,可以通过这篇文章回顾一下泰勒公式 打开链接 - 荒原之梦

根据泰勒公式,在 $x$ $=$ $0$ 时,我们有:

$$
e^{x} =
$$

$$
\frac{e^{0}}{0!} \cdot 1 + \frac{e^{0}}{1!} \cdot x + \frac{e^{0}}{2!} \cdot x^{2} =
$$

$$
1 + x + \frac{1}{2} x^{2}.
$$

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于是:

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \Big[ e^{x} \sim (1 + x) \Big] \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \Big[ (\textcolor{orange}{e^{x}} \textcolor{red}{-} \textcolor{cyan}{1}) \sim \textcolor{white}{x} \Big] \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \Big[ (\textcolor{cyan}{1} – \textcolor{orange}{e^{x}}) \sim \textcolor{red}{-} \textcolor{white}{x} \Big]
$$

Tips Tips - 荒原之梦

如果对其他的等价无穷小有疑问,也可以借助类似上面的方法,通过计算其在 $x$ $=$ $0$ 处的泰勒公式展开式进行辅助判断。


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