一招解决所有 $1$ $-$ $(\cos cx)^{\frac{b}{a}}$ 类型的等价无穷小

一、前言

本文将介绍一种通用的方法，可以计算出当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，所有 $1$ $-$ $(\cos cx)^{\frac{b}{a}}$ 类型式子的等价无穷小。

难度评级：

二、正文

$$
\lim_{x \rightarrow 0} [1 – (\cos cx)^{\frac{b}{a}} ] =
$$

$$
(-1) \lim_{x \rightarrow 0} [(\cos cx)^{\frac{b}{a}} – 1 ] =
$$

Next

$$
(-1) \lim_{x \rightarrow 0} [(\cos cx – 1 + 1)^{\frac{b}{a}} – 1 ] =
$$

$$
(-1) \lim_{x \rightarrow 0} \Big\{ \big[ (\cos cx – 1) + 1 \big]^{\frac{b}{a}} – 1 \Big\} =
$$

$$
(-1) \times \lim_{(\cos cx – 1) \rightarrow 0} \Big\{ \big[ (\cos cx – 1) + 1 \big]^{\frac{b}{a}} – 1 \Big\} \sim
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-b}{a} (\cos cx – 1) =
$$

上面的计算步骤应用了一个常见的等价无穷小：$\lim_{x \rightarrow 0}$ $(x + 1)^{a}$ $-$ $1$ $\sim$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $ax$.

Next

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{b}{a} (1 – \cos cx) \sim
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{b}{a} \times \frac{1}{2} (cx)^{2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{bc^{2} x^{2}}{2a}
$$

Next

例如，当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时：

为了表述方面，下面所有式子之间都用 “$=$” 连接，没有在使用了等价无穷小的地方使用 “$\sim$” 符号。

$$
1 – \sqrt[3]{\cos x} =
$$

$$
1 – \cos^{\frac{1}{3}} x =
$$

$$
(-1) \cdot (\cos^{\frac{1}{3}} x – 1) =
$$

$$
(-1) \cdot [(\cos x – 1 + 1)^{\frac{1}{3}}- 1] =
$$

$$
(-1) \cdot \frac{1}{3} (\cos x – 1) =
$$

$$
\frac{1}{3} (1 – \cos x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} = \frac{1}{6} x^{2}.
$$

---