题目
已知当 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $f(x) = 3 \sin x – \sin 3x$ 与 $cx^{k}$ 是等价无穷小，则 $?$
$$
A. k=1,c=4
$$
$$
B. k=1,c=-4
$$
$$
C. k=3,c=4
$$
$$
D. k=3,c=-4
$$
解析
这类题目可以使用等价无穷小或者麦克劳林公式，首先要尝试使用等价无穷小，如果尝试过后等价无穷小公式不能使用，则尝试使用麦克劳林公式。
由 $x \rightarrow 0$ 时的关于 $\sin x$ 的如下等价无穷小：
$$
x – \sin x \sim \frac{1}{6}x^{3}.
$$
可知，关于 $\sin x$ 的麦克劳林公式可以写做：
$$
\sin x = x – \frac{1}{6} x^{3}.
$$
于是：
$$
f(x) =
$$
$$
3 \sin x – \sin 3x =
$$
$$
3(x – \frac{1}{6}x^{3}) – [3x – \frac{1}{6}(3x)^{3}] =
$$
$$
3x – \frac{3}{6} x^{3} – 3x + \frac{27}{6} x^{3} =
$$
$$
\frac{27}{6} x^{3} – \frac{3}{6} x^{3} =
$$
$$
\frac{24}{6} x^{3} =
$$
$$
4x^{3}.
$$
又：
$$
4x^{3} \sim cx^{k} \Rightarrow
$$
$$
c = 4;
$$
$$
k = 3.
$$
综上可知，正确选项为 $C$.
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